А если да, то насколько эффективны такие методы познания?
Возможны, конечно, подходы в рамках религиозного или мистического опыта, но это полностью выходит за пределы нашей темы.
Как бы то ни было, будем считать экспериментально установленным тот факт, что природу мы познаем с помощью моделей.
Второй экспериментальный факт состоит в том, что, рассматривая модели в разных науках, мы вдруг обнаруживаем группы чрезвычайно сходных моделей и результаты, полученные в одной модели, могут быть применены в другой. Например, изменение численности хищника в системе «хищник-жертва» очень похоже на изменение силы тока в колебательном контуре. Каждый может привести массу таких примеров.
Исходя из этого, М.М.Постников сформулировал «второй основной вопрос философии природы»: В чем причина такой схожести моделей? В отличие от первого, на него многие пытались давать ответы, но все эти ответы представляли собой чисто словесную шелуху. Например, одно из широко распространенных объяснений состоит в том, что этот параллелизм обусловливается материальным единством природы. Но, конечно, настоящего объяснения до сих пор нет и, по-видимому, сейчас это одна из важнейших проблем философии.
Схожесть моделей можно по-иному выразить, сказав, что модели каждого класса имеют общую схему, т. е. что схожие модели – это модели, которые основываются на одной и той же схеме. Введя, таким образом, понятие схемы, мы приходим к задаче абстрактного изучения схем как таковых, безотносительно к их конкретному воплощению.
Математикой называется наука, изучающая все возможные – хотя бы мысленно – схемы, их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем (схемы схем) и т. д. и т. п. Таким образом, математика не есть наука о моделях окружающего мира, а есть наука о схемах этих моделей. Математики детально изучают имеющиеся схемы моделей и обобщают опыт их применения.
Однако, многочисленность разнообразных схем моделей, накопленных в математике, не позволяет практику (скажем, инженеру) их все знать. Поэтому задача математиков – помочь практике в создании моделей по еще не получившим широкой известности схемам. С этой целью в математике изучаются не только схемы реальных моделей, но и схемы схем, схемы схем схем и т. д. до бесконечности. На практике это выражается в приобретении опыта конструирования схем на примерах решения головоломных, чисто математических задач. В результате очень часто при ответе на какой-нибудь вопрос из практики математик, как фокусник из рукава, вытаскивает нужную схему и вместе с ней решение практической задачи.
Наконец, в математике нужно постоянно придумывать принципиально новые схемы моделей. Иногда – при редкой удаче – это удается сделать, так сказать, «из головы». Но, как правило, эти схемы приходится с большим трудом извлекать из реальных моделей. Каждый раз это – крупный успех, знаменующий скачок в развитии математики, открывающий новое поле работы. Поэтому для развития математики необходимо постоянное обращение к практике.
В последнее время широко распространилось мнение, что внедрение в практику компьютеров резко изменило принципы взаимоотношений математики и других наук. На самом деле это мнение основано на недоразумении. Компьютеризация никак на эти принципы не повлияла. Она лишь сделала безнадежно устаревшими многие излюбленные схемы моделей и позволила разработать другие, более эффективные. В истории математики так происходило уже много раз, и появление компьютеров лишь направило этот процесс по новому пути.
Следует сказать, что та или иная конкретная наука вполне может существовать и даже процветать и без разработанных в математике моделей. Примером являются биология (в которую математические модели только начали проникать) и эстетика (где математика еще не используется). Тот факт, что разработанные в математике схемы моделей – так уж сложилось исторически – ориентированы в первую очередь только на «точные» науки естествознания, является основным дефектом современной математики. Одной из ее первоочередных задач должно быть осмысление «гуманитарных» моделей и создание их общей теории. Эта теория, по-видимому, будет совсем не похожа на привычные математические схемы и, во всяком случае, не будет иметь вид формального исчисления. Основные идеи этой будущей теории не должны заимствоваться из уже имеющихся в математике принципов, а должны возникать из конкретного анализа моделей гуманитарных наук.
Известное противопоставление «физиков» и «лириков» отражает существование двух дополнительных равноправных способов освоения фактов реального мира – рационалистического, выражающегося в системе наук, и эмоционального, выражающегося в системе искусств. Попытки исследования моделей искусства делаются ныне в рамках кибернетики (это так называемые «кибернетические теории искусства»), но их общим дефектом является стремление к дурно понятой «математизации». На самом же деле и здесь общие принципы должны не привноситься извне, а возникать на базе анализа конкретного материала той или иной области человеческой деятельности. В отношении многих математических понятий утверждение, что они являются схемами каких-то моделей, возражений не вызывает. Например, общеизвестно, что уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами – это схема всех моделей колебательного движения, в какой бы конкретной ситуации они не возникали.
Однако, дискуссию вызывает вопрос, как в эту концепцию входит понятие числа. Это действительно трудный вопрос, потому что возникновение понятия числа столь древнее явление, что едва ли остались следы, как люди пришли к этому понятию, т. е. в результате абстрагирования каких моделей оно возникло… Но оказывается, что это не совсем так – следы остались!
Например, они обнаруживаются в японском языке. В этом языке существуют специальные группы числительных, скажем, для круглых предметов, совсем другие числительные для длинных предметов, совсем другие числительные для живых предметов и так далее. С точки зрения, европейской грамматики это оформляется, сейчас, правда, не как различные числительные, а как одни и те же числительные, к которым прибавляются различные суффиксы. Но это вопрос лишь описания этого языкового явления. Можно сделать вывод, что система японских числительных представляет собой некоторый рудимент хода мыслей, в котором люди пришли к абстрактному понятию числа и, где-то на самом первоначальном уровне еще питекантропов, для арбузов была одна система числительных, для дынь – другая, для палок – третья, для людей – четвертая. Конечно, это система далеко не уходила – раз, два, три и все, но, во всяком случае, для каждого набора предметов были собственные слова для их счета. Потом постепенно было замечено, что, можно использовать одни и те же слова для всех предметов круглой формы, но для предметов продолговатой формы остались другие слова. Только на очень высокой ступени развития пришли к той мысли, что вообще конкретная суть предметов роли не играет и счет можно производить в совершенно абстрактной форме.
Таким образом, моделями здесь были процедуры счета конкретных вещей, причем для каждого конкретного вида предметов использовались свои слова.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79
Возможны, конечно, подходы в рамках религиозного или мистического опыта, но это полностью выходит за пределы нашей темы.
Как бы то ни было, будем считать экспериментально установленным тот факт, что природу мы познаем с помощью моделей.
Второй экспериментальный факт состоит в том, что, рассматривая модели в разных науках, мы вдруг обнаруживаем группы чрезвычайно сходных моделей и результаты, полученные в одной модели, могут быть применены в другой. Например, изменение численности хищника в системе «хищник-жертва» очень похоже на изменение силы тока в колебательном контуре. Каждый может привести массу таких примеров.
Исходя из этого, М.М.Постников сформулировал «второй основной вопрос философии природы»: В чем причина такой схожести моделей? В отличие от первого, на него многие пытались давать ответы, но все эти ответы представляли собой чисто словесную шелуху. Например, одно из широко распространенных объяснений состоит в том, что этот параллелизм обусловливается материальным единством природы. Но, конечно, настоящего объяснения до сих пор нет и, по-видимому, сейчас это одна из важнейших проблем философии.
Схожесть моделей можно по-иному выразить, сказав, что модели каждого класса имеют общую схему, т. е. что схожие модели – это модели, которые основываются на одной и той же схеме. Введя, таким образом, понятие схемы, мы приходим к задаче абстрактного изучения схем как таковых, безотносительно к их конкретному воплощению.
Математикой называется наука, изучающая все возможные – хотя бы мысленно – схемы, их взаимосвязи, методы их конструирования, иерархии схем (схемы схем) и т. д. и т. п. Таким образом, математика не есть наука о моделях окружающего мира, а есть наука о схемах этих моделей. Математики детально изучают имеющиеся схемы моделей и обобщают опыт их применения.
Однако, многочисленность разнообразных схем моделей, накопленных в математике, не позволяет практику (скажем, инженеру) их все знать. Поэтому задача математиков – помочь практике в создании моделей по еще не получившим широкой известности схемам. С этой целью в математике изучаются не только схемы реальных моделей, но и схемы схем, схемы схем схем и т. д. до бесконечности. На практике это выражается в приобретении опыта конструирования схем на примерах решения головоломных, чисто математических задач. В результате очень часто при ответе на какой-нибудь вопрос из практики математик, как фокусник из рукава, вытаскивает нужную схему и вместе с ней решение практической задачи.
Наконец, в математике нужно постоянно придумывать принципиально новые схемы моделей. Иногда – при редкой удаче – это удается сделать, так сказать, «из головы». Но, как правило, эти схемы приходится с большим трудом извлекать из реальных моделей. Каждый раз это – крупный успех, знаменующий скачок в развитии математики, открывающий новое поле работы. Поэтому для развития математики необходимо постоянное обращение к практике.
В последнее время широко распространилось мнение, что внедрение в практику компьютеров резко изменило принципы взаимоотношений математики и других наук. На самом деле это мнение основано на недоразумении. Компьютеризация никак на эти принципы не повлияла. Она лишь сделала безнадежно устаревшими многие излюбленные схемы моделей и позволила разработать другие, более эффективные. В истории математики так происходило уже много раз, и появление компьютеров лишь направило этот процесс по новому пути.
Следует сказать, что та или иная конкретная наука вполне может существовать и даже процветать и без разработанных в математике моделей. Примером являются биология (в которую математические модели только начали проникать) и эстетика (где математика еще не используется). Тот факт, что разработанные в математике схемы моделей – так уж сложилось исторически – ориентированы в первую очередь только на «точные» науки естествознания, является основным дефектом современной математики. Одной из ее первоочередных задач должно быть осмысление «гуманитарных» моделей и создание их общей теории. Эта теория, по-видимому, будет совсем не похожа на привычные математические схемы и, во всяком случае, не будет иметь вид формального исчисления. Основные идеи этой будущей теории не должны заимствоваться из уже имеющихся в математике принципов, а должны возникать из конкретного анализа моделей гуманитарных наук.
Известное противопоставление «физиков» и «лириков» отражает существование двух дополнительных равноправных способов освоения фактов реального мира – рационалистического, выражающегося в системе наук, и эмоционального, выражающегося в системе искусств. Попытки исследования моделей искусства делаются ныне в рамках кибернетики (это так называемые «кибернетические теории искусства»), но их общим дефектом является стремление к дурно понятой «математизации». На самом же деле и здесь общие принципы должны не привноситься извне, а возникать на базе анализа конкретного материала той или иной области человеческой деятельности. В отношении многих математических понятий утверждение, что они являются схемами каких-то моделей, возражений не вызывает. Например, общеизвестно, что уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами – это схема всех моделей колебательного движения, в какой бы конкретной ситуации они не возникали.
Однако, дискуссию вызывает вопрос, как в эту концепцию входит понятие числа. Это действительно трудный вопрос, потому что возникновение понятия числа столь древнее явление, что едва ли остались следы, как люди пришли к этому понятию, т. е. в результате абстрагирования каких моделей оно возникло… Но оказывается, что это не совсем так – следы остались!
Например, они обнаруживаются в японском языке. В этом языке существуют специальные группы числительных, скажем, для круглых предметов, совсем другие числительные для длинных предметов, совсем другие числительные для живых предметов и так далее. С точки зрения, европейской грамматики это оформляется, сейчас, правда, не как различные числительные, а как одни и те же числительные, к которым прибавляются различные суффиксы. Но это вопрос лишь описания этого языкового явления. Можно сделать вывод, что система японских числительных представляет собой некоторый рудимент хода мыслей, в котором люди пришли к абстрактному понятию числа и, где-то на самом первоначальном уровне еще питекантропов, для арбузов была одна система числительных, для дынь – другая, для палок – третья, для людей – четвертая. Конечно, это система далеко не уходила – раз, два, три и все, но, во всяком случае, для каждого набора предметов были собственные слова для их счета. Потом постепенно было замечено, что, можно использовать одни и те же слова для всех предметов круглой формы, но для предметов продолговатой формы остались другие слова. Только на очень высокой ступени развития пришли к той мысли, что вообще конкретная суть предметов роли не играет и счет можно производить в совершенно абстрактной форме.
Таким образом, моделями здесь были процедуры счета конкретных вещей, причем для каждого конкретного вида предметов использовались свои слова.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79