Если на основе куба построить твердое тело, имеющее четыре измерения, тессаракт, то в его четырехмерном объеме будет столько же точек, сколько на отрезке прямой. И так далее, до бесконечности.
В этой математике величин, превышающих бесконечность, которая изучает алефы, часть равна целому. Это вполне безумно, если стать на точку зрения классического разума, и тем не менее это доказуемо. Точно так же доказуем тот факт, что если умножить Алеф на любое число, то всегда будет получаться Алеф. И вот современная высшая математика присоединяется к Изумрудной Скрижали Гермеса Трисмегиста («то, что сверху, подобно тому, что внизу») и к интуиции таких поэтов, как Уильям Блейк (вся Вселенная содержится в одной песчинке).
Есть только одно средство проникнуть по ту сторону Алефа – возвести его в степень Алеф (известно, что А в степени Б означает А, Б раз умноженное на, и аналогично Алеф в степени Алеф – это новый Алеф).
Если назвать первый Алеф нулем, то второй Алеф – единица, третий – двойка и т. д. Алеф-нуль, как мы сказали, – это число точек, содержащихся в отрезке прямой или в объеме. Доказывается, что Алеф-один – это число всех разумно возможных кривых, содержащихся в пространстве. Что касается Алефа-два, он уже соответствует числу, которое будет больше, чем все, что можно постигнуть во Вселенной. В мире нет предметов в достаточно большом количестве, чтобы считая их, можно было прийти к Алефу-два. А алефы тянутся до бесконечности. Значит, человеческому уму удается выйти за пределы Вселенной, построить концепции, которые Вселенная никогда не сможет заполнить. Это традиционный атрибут Бога, но никто никогда не мог вообразить, что мысль может воспользоваться этим атрибутом. По всей вероятности, созерцание алефов выше двух и сделало Кантора безумным.
Современные математики, более устойчивые или менее чувствительные к метафизическому бреду, манипулируют концепциями этого порядка и даже выводят из них некоторые практические применения. Некоторые из этих применений по своей природе таковы, что способны привести в замешательство здравый смысл. Например, знаменитый парадокс Банаха и Тарского (это современные польские математики. Банах был убит немцами в Освенциме. Тарский еще жив и переводит сейчас на французский свой монументальный трактат о математической логике).
Этот парадокс говорит о том, что можно взять шар нормальных размеров – скажем, яблока или теннисного мяча, разрезать его на доли, а затем собрать эти доли так, что получится шар величиной меньше атома или больше Солнца.
Эта операция не могла, бы быть решена физически, потому что разрезать следует по форме специальных поверхностей, не имеющих плоскости соприкосновения, и технически этого действительно нельзя осуществить. Но большая часть специалистов считает, что эта невообразимая операция теоретически возможна в том смысле, что если эти поверхности не принадлежат к управляемому миру, то расчеты, относящиеся к ним, оказываются верными и действительными в мире ядерной физики. Нейтроны движутся в реакторах по кривым, не имеющим плоскости соприкосновения.
Работы Банаха и Тарского приводят к заключениям, примыкающим, как это ни безумно, к представлениям индийских посвященных в технику Самадхи: те заявляют, что могут вырасти до размеров Млечного Пути или сжаться до величины самой маленькой постижимой частицы. Ближе к нашему времени Шекспир заставил Гамлета воскликнуть: «О Боже, заключите меня в скорлупу ореха, и я буду чувствовать себя повелителем бесконечности!».
Нам кажется, что невозможно не поразиться сходством между этими отдельными отражениями магической мысли и современной математической логики. Один антрополог, участвовавший в коллоквиуме по парапсихологии в Руаямоне в 1956 году, заявил: «По верованиям йогов, сиддхи, легендарные существа, занимающие промежуточное положение между богами и людьми, обладают способностью становиться маленькими, как атом, и большими, как Солнце или вся Вселенная! Среди этих необыкновенных утверждений мы встречаем положительные факты, которые имеем основание заранее считать правдивыми, и факты, подобные этим, которые кажутся невероятными и выходящими за пределы всякой логики». Но нужно думать, что этот антрополог не знал ни восклицания Гамлета, ни неожиданных форм, приобретаемых самой чистой и самой современной логикой – математической логикой.
Каково может быть глубокое значение этих сообщений? Как и в других частях этой книги, мы ограничимся тем, что сформулируем гипотезы. Самым романтическим и волнующим, но менее всего «обобщающим» было бы допустить, что техника Самадхи реальна, что посвященному действительно удается стать таким же маленьким, как атом, и таким же большим, как Солнце. И что эта техника вытекает из знаний древних цивилизаций, владевших математической величиной, превышающей бесконечность. У нас здесь идет речь о глубоком стремлении человеческого ума, находящем свое выражение и в йоге Самадхи и одновременно в передовой математике Банаха и Тарского.
Если революционные математики правы, если парадоксы превышения бесконечности обоснованны, то перед человеческой мыслью открываются необыкновенные перспективы. Можно понять, что в пространстве существуют точки Алеф, как та, что описана в новелле Борхеса. В этих точках представлена вся непрерывность пространства-времени, и это зрелище охватывает все от сердцевины атомного ядра до самой отдаленной галактики.
Можно идти еще дальше: можно представить себе, что в результате манипуляций, касающихся одновременно материи, энергии и мысли, любая точка пространства может стагь точкой по ту сторону бесконечности. Если такая гипотеза соответствует физикопсихо-математической реальности, то мы имеем объяснение «Великого дела» алхимиков и высшего экстаза некоторых религий. Идея точки по ту сторону бесконечности, откуда может быть воспринят весь мир, представляет собой абстракцию, примыкающую к чуду. Но основные уравнения теории относительности обладают этими качествами в не меньшей степени, а из них, однако, вытекают телевидение и атомная бомба. Человеческая мысль постоянно прогрессирует в направлении все более высоких уровней абстракции. Уже Поль Ланжевен заметил, что домовый электромонтер отлично управляется с таким абстрактным и деликатным понятием, как потенциал, он даже приспособил к нему свой профессиональный жаргон: он говорит «есть ток».
Можно еще представить себе, что в более или менее отдаленном будущем человеческий ум овладеет математикой, лежащей за пределами бесконечности, и с помощью определенных инструментов ему удастся построить в пространстве алефы, точки, находящиеся за пределами бесконечности, откуда бесконечно малое и бесконечно большое предстанут во всей своей полноте вплоть до последней истины. Так традиционные поиски абсолюта привели бы наконец к своей цели. Заманчиво думать, что этот опыт уже частично удался. В первой части этой работы мы упоминали о манипуляции алхимиков, по ходу которой адепт окисляет поверхность расплавленного металла. Когда пленка окиси разрывается, то можно видеть на тусклом фоне изображение нашей галактики с ее двумя спутниками, Магеллановыми облаками. Легенда или действительность?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118
В этой математике величин, превышающих бесконечность, которая изучает алефы, часть равна целому. Это вполне безумно, если стать на точку зрения классического разума, и тем не менее это доказуемо. Точно так же доказуем тот факт, что если умножить Алеф на любое число, то всегда будет получаться Алеф. И вот современная высшая математика присоединяется к Изумрудной Скрижали Гермеса Трисмегиста («то, что сверху, подобно тому, что внизу») и к интуиции таких поэтов, как Уильям Блейк (вся Вселенная содержится в одной песчинке).
Есть только одно средство проникнуть по ту сторону Алефа – возвести его в степень Алеф (известно, что А в степени Б означает А, Б раз умноженное на, и аналогично Алеф в степени Алеф – это новый Алеф).
Если назвать первый Алеф нулем, то второй Алеф – единица, третий – двойка и т. д. Алеф-нуль, как мы сказали, – это число точек, содержащихся в отрезке прямой или в объеме. Доказывается, что Алеф-один – это число всех разумно возможных кривых, содержащихся в пространстве. Что касается Алефа-два, он уже соответствует числу, которое будет больше, чем все, что можно постигнуть во Вселенной. В мире нет предметов в достаточно большом количестве, чтобы считая их, можно было прийти к Алефу-два. А алефы тянутся до бесконечности. Значит, человеческому уму удается выйти за пределы Вселенной, построить концепции, которые Вселенная никогда не сможет заполнить. Это традиционный атрибут Бога, но никто никогда не мог вообразить, что мысль может воспользоваться этим атрибутом. По всей вероятности, созерцание алефов выше двух и сделало Кантора безумным.
Современные математики, более устойчивые или менее чувствительные к метафизическому бреду, манипулируют концепциями этого порядка и даже выводят из них некоторые практические применения. Некоторые из этих применений по своей природе таковы, что способны привести в замешательство здравый смысл. Например, знаменитый парадокс Банаха и Тарского (это современные польские математики. Банах был убит немцами в Освенциме. Тарский еще жив и переводит сейчас на французский свой монументальный трактат о математической логике).
Этот парадокс говорит о том, что можно взять шар нормальных размеров – скажем, яблока или теннисного мяча, разрезать его на доли, а затем собрать эти доли так, что получится шар величиной меньше атома или больше Солнца.
Эта операция не могла, бы быть решена физически, потому что разрезать следует по форме специальных поверхностей, не имеющих плоскости соприкосновения, и технически этого действительно нельзя осуществить. Но большая часть специалистов считает, что эта невообразимая операция теоретически возможна в том смысле, что если эти поверхности не принадлежат к управляемому миру, то расчеты, относящиеся к ним, оказываются верными и действительными в мире ядерной физики. Нейтроны движутся в реакторах по кривым, не имеющим плоскости соприкосновения.
Работы Банаха и Тарского приводят к заключениям, примыкающим, как это ни безумно, к представлениям индийских посвященных в технику Самадхи: те заявляют, что могут вырасти до размеров Млечного Пути или сжаться до величины самой маленькой постижимой частицы. Ближе к нашему времени Шекспир заставил Гамлета воскликнуть: «О Боже, заключите меня в скорлупу ореха, и я буду чувствовать себя повелителем бесконечности!».
Нам кажется, что невозможно не поразиться сходством между этими отдельными отражениями магической мысли и современной математической логики. Один антрополог, участвовавший в коллоквиуме по парапсихологии в Руаямоне в 1956 году, заявил: «По верованиям йогов, сиддхи, легендарные существа, занимающие промежуточное положение между богами и людьми, обладают способностью становиться маленькими, как атом, и большими, как Солнце или вся Вселенная! Среди этих необыкновенных утверждений мы встречаем положительные факты, которые имеем основание заранее считать правдивыми, и факты, подобные этим, которые кажутся невероятными и выходящими за пределы всякой логики». Но нужно думать, что этот антрополог не знал ни восклицания Гамлета, ни неожиданных форм, приобретаемых самой чистой и самой современной логикой – математической логикой.
Каково может быть глубокое значение этих сообщений? Как и в других частях этой книги, мы ограничимся тем, что сформулируем гипотезы. Самым романтическим и волнующим, но менее всего «обобщающим» было бы допустить, что техника Самадхи реальна, что посвященному действительно удается стать таким же маленьким, как атом, и таким же большим, как Солнце. И что эта техника вытекает из знаний древних цивилизаций, владевших математической величиной, превышающей бесконечность. У нас здесь идет речь о глубоком стремлении человеческого ума, находящем свое выражение и в йоге Самадхи и одновременно в передовой математике Банаха и Тарского.
Если революционные математики правы, если парадоксы превышения бесконечности обоснованны, то перед человеческой мыслью открываются необыкновенные перспективы. Можно понять, что в пространстве существуют точки Алеф, как та, что описана в новелле Борхеса. В этих точках представлена вся непрерывность пространства-времени, и это зрелище охватывает все от сердцевины атомного ядра до самой отдаленной галактики.
Можно идти еще дальше: можно представить себе, что в результате манипуляций, касающихся одновременно материи, энергии и мысли, любая точка пространства может стагь точкой по ту сторону бесконечности. Если такая гипотеза соответствует физикопсихо-математической реальности, то мы имеем объяснение «Великого дела» алхимиков и высшего экстаза некоторых религий. Идея точки по ту сторону бесконечности, откуда может быть воспринят весь мир, представляет собой абстракцию, примыкающую к чуду. Но основные уравнения теории относительности обладают этими качествами в не меньшей степени, а из них, однако, вытекают телевидение и атомная бомба. Человеческая мысль постоянно прогрессирует в направлении все более высоких уровней абстракции. Уже Поль Ланжевен заметил, что домовый электромонтер отлично управляется с таким абстрактным и деликатным понятием, как потенциал, он даже приспособил к нему свой профессиональный жаргон: он говорит «есть ток».
Можно еще представить себе, что в более или менее отдаленном будущем человеческий ум овладеет математикой, лежащей за пределами бесконечности, и с помощью определенных инструментов ему удастся построить в пространстве алефы, точки, находящиеся за пределами бесконечности, откуда бесконечно малое и бесконечно большое предстанут во всей своей полноте вплоть до последней истины. Так традиционные поиски абсолюта привели бы наконец к своей цели. Заманчиво думать, что этот опыт уже частично удался. В первой части этой работы мы упоминали о манипуляции алхимиков, по ходу которой адепт окисляет поверхность расплавленного металла. Когда пленка окиси разрывается, то можно видеть на тусклом фоне изображение нашей галактики с ее двумя спутниками, Магеллановыми облаками. Легенда или действительность?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118