Таких звезд оказалось немного – всего три. Они были исключены из рассмотрения. Таким образом, наш анализ в основном подтвердил правильность отождествления подавляющего большинства звезд Альмагеста, приведенного в труде Петерса и Кнобеля.
Скажем кратко, чтобы не перегружать внимание читателей подробностями вычислительной работы (интересующихся отсылаем к нашим специальным книгам), о результатах нашего анализа систематических ошибок. Если рассмотреть какую-нибудь совокупность звезд, то систематическая ошибка в положении этих звезд на небесной сфере может состоять только лишь в перемещении совокупности звезд как единого целого по небесной сфере. Такое перемещение имеет три степени свободы и, следовательно, может быть описано тремя параметрами. Однако поскольку мы интересуемся лишь широтными невязками, то достаточно рассмотреть только двухпараметриче-ские вращения сферы. С вычислительной точки зрения удобно задать это вращение с помощью параметров? и?, где параметр? задает ось, вокруг которой вращается сфера, а параметр? задает угол поворота (см. рис. 2.7). А именно, мы выбираем в качестве у угол между осью весеннего равноденствия, рассчитанной на какой-либо год t, и осью поворота, лежащей в плоскости эклиптики, также относящейся к году t.
Итак, если предположить, что звездный каталог составлялся в год t и истинные широта и долгота какой-либо звезды были равны b(t) и l(/) соответственно, то в результате ошибки в определении положения эклиптики, парамеризуемой? =7(0 и? =? (t), составитель каталога запишет в каталог координаты b\t) и t(t). С очень большой точностью можно считать, что
Последняя формула справедлива при условии, что составитель каталога не делал никакой ошибки измерений. Если ошибка присутствовала – а она присутствовала неизбежно – и равнялась X, то
Последняя формула справедлива для всех звезд рассматриваемой совокупности, и, следовательно, можно поставить статистическую проблему оценки параметров у и ф для данной совокупности звезд. Оценки параметров у и ф можно найти, например, методом наименьших квадратов, когда у и ф являются решением следующей задачи:
где суммирование производится по всем звездам i из рассматриваемой совокупности; bi – широта i-й звезды в каталоге Альмагеста, bi.(t), li(t) – истинные широта и долгота звезды i в году t.
Решением этой задачи являются параметры
задающие ошибку в определении положения эклиптики при условии, что звездный каталог был составлен в году t, а минимальное значение суммы представляет собой квадрат среднеквадратичной широтной ошибки в рассматриваемой совокупности звезд после компенсации систематической ошибки. Назовем это минимальное значение "остаточной ошибкой", то есть ошибкой, которая остается в каталоге после компенсации систематической составляющей.
Рис. 2.8
Затем мы рассмотрели следующие семь совокупностей звезд, семь областей звездного неба Альмагеста (рис. 2.8):
ОБЛАСТЬ М – это Млечный Путь;
ОБЛАСТЬ А – большая область справа от Млечного Пути, содержащая точку осеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком;
ОБЛАСТЬ В – это меньшая область слева от Млечного Пути, содержащая точку весеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком;
ОБЛАСТЬ С – это южная часть неба справа от Млечного Пути, расположенная за зодиаком;
ОБЛАСТЬ D – это южная часть неба слева от Млечного Пути, расположенная за зодиаком;
ОБЛАСТЬ ZodA – это часть зодиака, попавшая в область А;
ОБЛАСТЬ ZodB – это другая часть зодиака, попавшая в область В.
Область А – самая большая из них. Через Zod мы обозначили все звезды зодиака в Альмагесте. Из рис. 2.1 видно, какие именно созвездия Альмагеста попали в эти выделенные нами семь областей звездного неба.
Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций вместе с соответствующими доверительными интервалами. На рис. 2.9 показан вид этих кривых для области ZodA.
Также мы нашли среднеквадратичные ошибки до и после компенсации систематических ошибок. Анализ данных показывает, что наиболее хорошо измеренными в Альмагесте совокупностями звезд являются области А и ZodA. На каком основании сделан этот вывод?
Рис. 2.9
Во– первых, сравниваются исходная и остаточная ошибки. Если это снижение значительно, -как в области ZodA, где ошибка снижается с уровня 22' до 13' – то есть основания говорить о малой величине случайной ошибки.
Во– вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров Так, для областей ZodA и А ширина доверительного интервала для у.ш составляет всего около 10', а, например, для области D -существенно больше. Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до "остаточного" для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное знание систематической ошибки для данной области – например, для D – приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога Альмагеста составляет 10 минут, это "заявленная точность" каталога. Другими словами, точность, на которую претендовал составитель каталога Альмагеста.
Другой вопрос: смог ли он реально достичь этой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки в каталоге, сделанные наблюдателем для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий каталога Альмагеста. Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог – к группе хорошо измеренных созвездий.
Здесь мы говорим о созвездиях зодиака. Эти результаты хорошо согласуются с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд, а именно по несколько сотен звезд в каждой совокупности.
Далее, хотя величины мы определяли с помощью методов математической статистики, это, вообще говоря, не дает оснований считать их систематическими ошибками. Дело в том, что они отвечают лишь "средним" отклонениям координат по всем звездам из рассматриваемой совокупности. Но это не противоречит тому случаю, когда отдельные созвездия имеют разные систематические ошибки, так что в итоге получается найденная нами выше ошибка. Расчеты показали, что отдельные зодиакальные созвездия из области ZodA имеют одну и ту же погрешность = 20'. В то же время они имеют отличающиеся друг от друга погрешности
Такую же погрешность = 20' имеет и часть А звездного атласа Альмагеста. Забегая вперед, скажем, что такую же погрешность имеет в Альмагесте и совокупность именных звезд из части неба А. Мы называем именными звездами те, которые снабжены в Альмагесте 5ственными именами. Все это говорит о том, что ошибка ЕДИНА ДЛЯ ВСЕХ СОЗВЕЗДИЙ ИЗ ЧАСТИ НЕБА А.
Совсем иное положение с ошибкой ф.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128
Скажем кратко, чтобы не перегружать внимание читателей подробностями вычислительной работы (интересующихся отсылаем к нашим специальным книгам), о результатах нашего анализа систематических ошибок. Если рассмотреть какую-нибудь совокупность звезд, то систематическая ошибка в положении этих звезд на небесной сфере может состоять только лишь в перемещении совокупности звезд как единого целого по небесной сфере. Такое перемещение имеет три степени свободы и, следовательно, может быть описано тремя параметрами. Однако поскольку мы интересуемся лишь широтными невязками, то достаточно рассмотреть только двухпараметриче-ские вращения сферы. С вычислительной точки зрения удобно задать это вращение с помощью параметров? и?, где параметр? задает ось, вокруг которой вращается сфера, а параметр? задает угол поворота (см. рис. 2.7). А именно, мы выбираем в качестве у угол между осью весеннего равноденствия, рассчитанной на какой-либо год t, и осью поворота, лежащей в плоскости эклиптики, также относящейся к году t.
Итак, если предположить, что звездный каталог составлялся в год t и истинные широта и долгота какой-либо звезды были равны b(t) и l(/) соответственно, то в результате ошибки в определении положения эклиптики, парамеризуемой? =7(0 и? =? (t), составитель каталога запишет в каталог координаты b\t) и t(t). С очень большой точностью можно считать, что
Последняя формула справедлива при условии, что составитель каталога не делал никакой ошибки измерений. Если ошибка присутствовала – а она присутствовала неизбежно – и равнялась X, то
Последняя формула справедлива для всех звезд рассматриваемой совокупности, и, следовательно, можно поставить статистическую проблему оценки параметров у и ф для данной совокупности звезд. Оценки параметров у и ф можно найти, например, методом наименьших квадратов, когда у и ф являются решением следующей задачи:
где суммирование производится по всем звездам i из рассматриваемой совокупности; bi – широта i-й звезды в каталоге Альмагеста, bi.(t), li(t) – истинные широта и долгота звезды i в году t.
Решением этой задачи являются параметры
задающие ошибку в определении положения эклиптики при условии, что звездный каталог был составлен в году t, а минимальное значение суммы представляет собой квадрат среднеквадратичной широтной ошибки в рассматриваемой совокупности звезд после компенсации систематической ошибки. Назовем это минимальное значение "остаточной ошибкой", то есть ошибкой, которая остается в каталоге после компенсации систематической составляющей.
Рис. 2.8
Затем мы рассмотрели следующие семь совокупностей звезд, семь областей звездного неба Альмагеста (рис. 2.8):
ОБЛАСТЬ М – это Млечный Путь;
ОБЛАСТЬ А – большая область справа от Млечного Пути, содержащая точку осеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком;
ОБЛАСТЬ В – это меньшая область слева от Млечного Пути, содержащая точку весеннего равноденствия и завершающаяся зодиаком;
ОБЛАСТЬ С – это южная часть неба справа от Млечного Пути, расположенная за зодиаком;
ОБЛАСТЬ D – это южная часть неба слева от Млечного Пути, расположенная за зодиаком;
ОБЛАСТЬ ZodA – это часть зодиака, попавшая в область А;
ОБЛАСТЬ ZodB – это другая часть зодиака, попавшая в область В.
Область А – самая большая из них. Через Zod мы обозначили все звезды зодиака в Альмагесте. Из рис. 2.1 видно, какие именно созвездия Альмагеста попали в эти выделенные нами семь областей звездного неба.
Для каждой из этих совокупностей звезд были найдены графики функций вместе с соответствующими доверительными интервалами. На рис. 2.9 показан вид этих кривых для области ZodA.
Также мы нашли среднеквадратичные ошибки до и после компенсации систематических ошибок. Анализ данных показывает, что наиболее хорошо измеренными в Альмагесте совокупностями звезд являются области А и ZodA. На каком основании сделан этот вывод?
Рис. 2.9
Во– первых, сравниваются исходная и остаточная ошибки. Если это снижение значительно, -как в области ZodA, где ошибка снижается с уровня 22' до 13' – то есть основания говорить о малой величине случайной ошибки.
Во– вторых, принимается во внимание размер доверительной области для обнаруженных параметров Так, для областей ZodA и А ширина доверительного интервала для у.ш составляет всего около 10', а, например, для области D -существенно больше. Кроме того, как говорилось, снижение ошибки от первоначального уровня до "остаточного" для области D незначительно. Поэтому говорить об уверенном определении систематической ошибки для этой части неба нельзя. Можно лишь утверждать, что ошибка лежит в пределах доверительной области. Но такое неточное знание систематической ошибки для данной области – например, для D – приводит к тому, что мы не имеем права основывать наши последующие заключения на рассмотрении координат звезд из групп, обладающих подобными свойствами. Это замечание очень важное и будет нами использовано в дальнейшем. Напомним, что цена деления шкалы каталога Альмагеста составляет 10 минут, это "заявленная точность" каталога. Другими словами, точность, на которую претендовал составитель каталога Альмагеста.
Другой вопрос: смог ли он реально достичь этой точности? Этот вопрос был решен нами описанным выше методом. Кроме того, таким же приемом были изучены и отдельные созвездия. Это позволило установить, что систематические ошибки в каталоге, сделанные наблюдателем для больших участков неба, в основном совпадают с систематическими ошибками, обнаруживающимися при анализе отдельных созвездий каталога Альмагеста. Оказалось, в частности, что созвездия Рыбы, Овен, Телец, Водолей относятся к группе плохо измеренных созвездий, а Близнецы, Рак, Лев, Дева, Весы, Скорпион, Стрелец, Козерог – к группе хорошо измеренных созвездий.
Здесь мы говорим о созвездиях зодиака. Эти результаты хорошо согласуются с выводами, сделанными на основе рассмотрения больших совокупностей звезд, а именно по несколько сотен звезд в каждой совокупности.
Далее, хотя величины мы определяли с помощью методов математической статистики, это, вообще говоря, не дает оснований считать их систематическими ошибками. Дело в том, что они отвечают лишь "средним" отклонениям координат по всем звездам из рассматриваемой совокупности. Но это не противоречит тому случаю, когда отдельные созвездия имеют разные систематические ошибки, так что в итоге получается найденная нами выше ошибка. Расчеты показали, что отдельные зодиакальные созвездия из области ZodA имеют одну и ту же погрешность = 20'. В то же время они имеют отличающиеся друг от друга погрешности
Такую же погрешность = 20' имеет и часть А звездного атласа Альмагеста. Забегая вперед, скажем, что такую же погрешность имеет в Альмагесте и совокупность именных звезд из части неба А. Мы называем именными звездами те, которые снабжены в Альмагесте 5ственными именами. Все это говорит о том, что ошибка ЕДИНА ДЛЯ ВСЕХ СОЗВЕЗДИЙ ИЗ ЧАСТИ НЕБА А.
Совсем иное положение с ошибкой ф.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128