Целые числа познаваемы, но такие отношения, как число пи (?), могут быть только аппроксимациями и потому непознаваемы. То была непостижимая рука Бога, проникающая во все вещи.
Поскольку отдельные числа являются либо рациональными (целые числа), либо иррациональными (дробные числа), геометрия может навести мосты между ними. Круг может представлять как принцип рационального целого числа в своем диаметре, так и иррациональную функцию в своей окружности. Квадрат и его диагональ также дают похожий феномен. Например, диагональ квадрата со стороной, равной одной единице, равна корню квадратному из 2 (рис. 33).
Термин «корень» в выражении «корень квадратный» имеет древнее происхождение и под разумевает понятие, взятое из природы. Корень растения спрятан, но порождает и питает то, что на поверхности.
Точно так же скрыты и корни квадратных чисел, и все они подразумеваются в них. Например, корень квадратный из 16 равен 4 (4?4=16). Корень же квадратный из 15 представляет собой иррациональное число, которое не так легко вычислить. Извлечение квадратных корней было главным занятием древних математиков. Когда же корень квадратный какого-либо числа нельзя было изобразить в цифрах, его всегда можно было воспроизвести геометрически. Этим и объясняется власть геометрии в античном мире. Геометрия считалась воротами в высшие сферы человеческого сознания, и поэтому ее принципы стали включаться в культовое искусство и архитектуру. Отталкиваясь от пропорций священного искусства и архитектуры, мы получаем концепцию священной геометрии, которую, пожалуй, лучше всего определить как геометрию, скрытую в религиозных постройках и духовных формах.
Круг, треугольник и квадрат
Легче других геометрических форм изобразить круг. Для этого достаточно циркуля или шнурка, колышка и маркера. Два взаимосвязанных круга можно получить, передвинув кончик циркуля на окружность первого круга и нарисовав второй равного размера. В образовавшейся весике могут быть получены три самых важных «корня»(?2, ?3 и ?5) (рис. 31).
Если принять радиус кругов за 1, тогда корень квадратный из двух (?2) может быть получен из диагонали квадрата, образованного линией между двумя центрами и двумя перпендикулярными к ней радиусами. Корень квадратный из трех (?3) образуется линией, соединяющей две точки пересечения кругов весики. Корень квадратный из пяти (?5) дает диагональ прямоугольника со сторонами 2 и 1. Этот прямоугольник можно использовать для обнаружения золотой пропорции (см. рис 35, на рис. 36, 37 и 38 показаны другие способы получения золотой пропорции). Позже мы увидим, что весика и пря моугольник со сторонами 2 и 1 служили ключом к получению древних единиц измерения.
Треугольник рассматривался как переходная форма между квадратом и кругом. Со временем он стал изображать триаду богов и богинь, обычно – как в Египте – отца, мать и сына. Эта концепция служит центральным стержнем многих религиозных систем и проявляет себя в христианстве в виде Бога Отца, Сына и Святого духа.
Идеальным считался равносторонний треугольник, в котором равны все стороны и углы. Широко использовался и другой треугольник, обычно приписываемый Пифагору, но явно существовавший задолго до него. Этот треугольник имеет стороны, выраженные целыми числами 3: 4: 5. Он является простейшим вариантом прямоугольного треугольника (90°) со сторонами, выражаемыми целыми числами. Благодаря простым отношениям чисел его использовали в топографии, а также в искусстве и скульптуре. На нем основана пирамида Хафры.
Круг, треугольник, квадрат и прямоугольник образуют основу культовой архитектуры. Они традиционно были связаны друг с другом особыми пропорциями. Последние призваны были отобразить собственную гармонию космоса.
Одна такая пропорция – «гномон» была определена Аристотелем следующим образом: «Любая фигура, которая, будучи добавленной к исконной фигуре, дает в результате фигуру, подобную исконной». Иными словами, сохраняются соотношения между всеми дополнительными шагами. Примером этого служит золотое сечение, которое может быть выражено числами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 23 и т д., где отношения между любыми двумя соседними числами быстро сходятся в одной точке по мере движения по ряду. Ряд Фибоначчи является самым известным примером гномонического отношения, но есть и другие.
Рис. 39. Гномоничесжие спирали, построенные из отношения квадрата 2:1
В своей книге «Священная геометрия» Роберт Лолор приводит примеры «гномонических» спиралей, подобных основанной на ряде Фибоначчи, полученной из отношения 1:2. Эти расширяющиеся схемы иногда называют «завихренными квадратами», поскольку они дают спирали, которые часто встречаются в природе (рис. 39).
Изучая «гномоны» с разными отношениями, я сделал важное открытие «Гномон», основанный на отношении 1:3, имеет непосредственное отношение к пирамидам Гизы. Получается, что из этого отношения могут быть получены основные пропорции пирамид Хуфу, Хафры и Менкаура (рис. 40). Все начинается с трех квадратов, соединенных в линию и образующих прямоугольник со сторонами 3 и 1. Затем чертится квадрат на длинной стороне на каждом этапе увеличения.
Первый квадрат образует прямоугольник с отношением сторон 3:4. При его удвоении получается отношение пирамиды Хафры – 6:4. При добавлении еще двух последовательных квадратов к прямоугольнику 3:4 получаем отношение пирамиды Хуфу – 7:11. Еще один добавленный квадрат дает пропорции пирамиды Менкаура – 11:18. Этот прием добавления квадратов к прямоугольнику 3:1 драматическим образом обнаруживает, что пирамиды отражают естественную математическую прогрессию в отношениях их высоты к основанию. Так или иначе, но они связаны гармоничным геометрическим рядом.
Что примечательного могло быть в отношении 3:1? Может быть, оно отражало символизм египетской троицы – Осириса, Исиды и Гора. Возможно, мы никогда этого не узнаем наверняка, но этот рисунок позволяет нам лучше понять методы египтян.
Это открытие согласуется с тем, что нам известно о египетских методах проектирования, которые, похоже, всегда основывались на схемах квадратной сетки. В египетском искусстве имеются многочисленные примеры, показывающие, что художники и скульпторы сначала рисовали сетку на стене, которую предстояло расписать или вырезать, для того чтобы сохранить установленные пропорции. Простые числовые отношения этих сеток служат сердцевиной всех великих художественных произведений египтян.
Тот же метод использовался многими художниками Возрождения, в том числе и Леонардо да Винчи. В Древнем Египте это нашло своевоплощение в Великой пирамиде, что и подкрепляется ее тесной связью с узором на Марлборо-Даунс.
С помощью круга и сетки
На Марлборо-Даунс размещены два взаимосвязанных круга, каждый диаметром в 19,3 километра (12 миль). В данном случае круги не образуют подлинный узор весики и поэтому не имеют явного отношения к известным геометрическим фигурам.
Как мне предстояло со временем открыть, размещение этих кругов не было произвольным, а подчинялось особому отношению, найденному в Великой пирамиде Хуфу. При наложении поперечного сечения Великой пирамиды на карту (рис. 21) обнаруживается геометрическое объяснение линейного построения галерей, ходов и камер пирамиды, в частности, ориентации Большой галереи пирамиды на центр одного из кругов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61
Поскольку отдельные числа являются либо рациональными (целые числа), либо иррациональными (дробные числа), геометрия может навести мосты между ними. Круг может представлять как принцип рационального целого числа в своем диаметре, так и иррациональную функцию в своей окружности. Квадрат и его диагональ также дают похожий феномен. Например, диагональ квадрата со стороной, равной одной единице, равна корню квадратному из 2 (рис. 33).
Термин «корень» в выражении «корень квадратный» имеет древнее происхождение и под разумевает понятие, взятое из природы. Корень растения спрятан, но порождает и питает то, что на поверхности.
Точно так же скрыты и корни квадратных чисел, и все они подразумеваются в них. Например, корень квадратный из 16 равен 4 (4?4=16). Корень же квадратный из 15 представляет собой иррациональное число, которое не так легко вычислить. Извлечение квадратных корней было главным занятием древних математиков. Когда же корень квадратный какого-либо числа нельзя было изобразить в цифрах, его всегда можно было воспроизвести геометрически. Этим и объясняется власть геометрии в античном мире. Геометрия считалась воротами в высшие сферы человеческого сознания, и поэтому ее принципы стали включаться в культовое искусство и архитектуру. Отталкиваясь от пропорций священного искусства и архитектуры, мы получаем концепцию священной геометрии, которую, пожалуй, лучше всего определить как геометрию, скрытую в религиозных постройках и духовных формах.
Круг, треугольник и квадрат
Легче других геометрических форм изобразить круг. Для этого достаточно циркуля или шнурка, колышка и маркера. Два взаимосвязанных круга можно получить, передвинув кончик циркуля на окружность первого круга и нарисовав второй равного размера. В образовавшейся весике могут быть получены три самых важных «корня»(?2, ?3 и ?5) (рис. 31).
Если принять радиус кругов за 1, тогда корень квадратный из двух (?2) может быть получен из диагонали квадрата, образованного линией между двумя центрами и двумя перпендикулярными к ней радиусами. Корень квадратный из трех (?3) образуется линией, соединяющей две точки пересечения кругов весики. Корень квадратный из пяти (?5) дает диагональ прямоугольника со сторонами 2 и 1. Этот прямоугольник можно использовать для обнаружения золотой пропорции (см. рис 35, на рис. 36, 37 и 38 показаны другие способы получения золотой пропорции). Позже мы увидим, что весика и пря моугольник со сторонами 2 и 1 служили ключом к получению древних единиц измерения.
Треугольник рассматривался как переходная форма между квадратом и кругом. Со временем он стал изображать триаду богов и богинь, обычно – как в Египте – отца, мать и сына. Эта концепция служит центральным стержнем многих религиозных систем и проявляет себя в христианстве в виде Бога Отца, Сына и Святого духа.
Идеальным считался равносторонний треугольник, в котором равны все стороны и углы. Широко использовался и другой треугольник, обычно приписываемый Пифагору, но явно существовавший задолго до него. Этот треугольник имеет стороны, выраженные целыми числами 3: 4: 5. Он является простейшим вариантом прямоугольного треугольника (90°) со сторонами, выражаемыми целыми числами. Благодаря простым отношениям чисел его использовали в топографии, а также в искусстве и скульптуре. На нем основана пирамида Хафры.
Круг, треугольник, квадрат и прямоугольник образуют основу культовой архитектуры. Они традиционно были связаны друг с другом особыми пропорциями. Последние призваны были отобразить собственную гармонию космоса.
Одна такая пропорция – «гномон» была определена Аристотелем следующим образом: «Любая фигура, которая, будучи добавленной к исконной фигуре, дает в результате фигуру, подобную исконной». Иными словами, сохраняются соотношения между всеми дополнительными шагами. Примером этого служит золотое сечение, которое может быть выражено числами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 23 и т д., где отношения между любыми двумя соседними числами быстро сходятся в одной точке по мере движения по ряду. Ряд Фибоначчи является самым известным примером гномонического отношения, но есть и другие.
Рис. 39. Гномоничесжие спирали, построенные из отношения квадрата 2:1
В своей книге «Священная геометрия» Роберт Лолор приводит примеры «гномонических» спиралей, подобных основанной на ряде Фибоначчи, полученной из отношения 1:2. Эти расширяющиеся схемы иногда называют «завихренными квадратами», поскольку они дают спирали, которые часто встречаются в природе (рис. 39).
Изучая «гномоны» с разными отношениями, я сделал важное открытие «Гномон», основанный на отношении 1:3, имеет непосредственное отношение к пирамидам Гизы. Получается, что из этого отношения могут быть получены основные пропорции пирамид Хуфу, Хафры и Менкаура (рис. 40). Все начинается с трех квадратов, соединенных в линию и образующих прямоугольник со сторонами 3 и 1. Затем чертится квадрат на длинной стороне на каждом этапе увеличения.
Первый квадрат образует прямоугольник с отношением сторон 3:4. При его удвоении получается отношение пирамиды Хафры – 6:4. При добавлении еще двух последовательных квадратов к прямоугольнику 3:4 получаем отношение пирамиды Хуфу – 7:11. Еще один добавленный квадрат дает пропорции пирамиды Менкаура – 11:18. Этот прием добавления квадратов к прямоугольнику 3:1 драматическим образом обнаруживает, что пирамиды отражают естественную математическую прогрессию в отношениях их высоты к основанию. Так или иначе, но они связаны гармоничным геометрическим рядом.
Что примечательного могло быть в отношении 3:1? Может быть, оно отражало символизм египетской троицы – Осириса, Исиды и Гора. Возможно, мы никогда этого не узнаем наверняка, но этот рисунок позволяет нам лучше понять методы египтян.
Это открытие согласуется с тем, что нам известно о египетских методах проектирования, которые, похоже, всегда основывались на схемах квадратной сетки. В египетском искусстве имеются многочисленные примеры, показывающие, что художники и скульпторы сначала рисовали сетку на стене, которую предстояло расписать или вырезать, для того чтобы сохранить установленные пропорции. Простые числовые отношения этих сеток служат сердцевиной всех великих художественных произведений египтян.
Тот же метод использовался многими художниками Возрождения, в том числе и Леонардо да Винчи. В Древнем Египте это нашло своевоплощение в Великой пирамиде, что и подкрепляется ее тесной связью с узором на Марлборо-Даунс.
С помощью круга и сетки
На Марлборо-Даунс размещены два взаимосвязанных круга, каждый диаметром в 19,3 километра (12 миль). В данном случае круги не образуют подлинный узор весики и поэтому не имеют явного отношения к известным геометрическим фигурам.
Как мне предстояло со временем открыть, размещение этих кругов не было произвольным, а подчинялось особому отношению, найденному в Великой пирамиде Хуфу. При наложении поперечного сечения Великой пирамиды на карту (рис. 21) обнаруживается геометрическое объяснение линейного построения галерей, ходов и камер пирамиды, в частности, ориентации Большой галереи пирамиды на центр одного из кругов.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61