Прикладная и чистая математика. Платон о неприменимости механики в геометрии
Благодаря своей функции посредника между сферами чувственного и идеального
бытия математика может выполнять, согласно Платону, две разные задачи:
во-первых, служить цели приобщения человека к более высокому - к созерцанию
идеи блага - и, во-вторых, быть средством упорядочения и расчленения низшей
сферы - текучего и неуловимого становления. Первая ее функция оценивается
Платоном неизмеримо выше второй: "При устройстве лагерей, занятии
местностей, стягивании и развертывании войск и разных других военных
построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется
разница между знатоком геометрии и тем, кто ее не знает. - Но для этого
было бы достаточно какой-то незначительной части геометрии и счета. Надо,
однако, рассмотреть преобладающую ее часть, имеющую более широкое
применение: направлена ли она к нашей цели, помогает ли она нам созерцать
идею блага?"
Всякое применение математики к познанию эмпирических явлений оценивается
Платоном как ее прикладная функция, и хотя он против этого применения не
возражает, но опасается, как бы из-за него не затемнилось и не исказилось
понимание самой природы и сущности как математики, так и всей науки вообще.
А это "затемнение и искажение", согласно Платону, сказывается в том, что
из-за возможности применять математические знания на практике в саму
математику вносятся механические методы.
"Кто хоть немного знает толк в геометрии, - говорит Сократ в диалоге
"Государство", - не будет оспаривать, что наука эта полностью
противоположна тем словесным выражениям, которые в ходу у занимающихся ею.
- То есть?
- Они выражаются как-то очень забавно и принужденно. Словно они заняты
практическим делом и имеют в виду интересы этого дела, они употребляют
выражение "построим" четырехугольник, "проведем" линию, "произведем
наложение" и так далее: все это так и сыплется из их уст. А между тем все
это наука, которой занимаются ради познания.
- Разумеется.
- Не оговорить ли нам еще вот что...
- А именно?
- Это наука, которой занимаются ради познания вечного бытия, а не того, что
возникает и гибнет... Значит, она влечет душу к истине и воздействует на
философскую мысль, стремя ее ввысь, между тем как теперь она у нас низменна
вопреки должному".
Платон здесь подвергает критике применение механики к решению
геометрических проблем. Так, Архит при решении задачи удвоения куба,
которая, по свидетельству древних источников, была поставлена как
практическая задача удвоения объема делийского жертвенника, применял метод
построения, вводя при этом в геометрию механические методы.
Это предположение подтверждается и сообщением Плутарха. "Знаменитому и
многими любимому искусству построения механических орудий, - пишет Плутарх,
- положили начало Евдокс и Архит, стремившиеся сделать геометрию более
красивой и привлекательной, а также с помощью чувственных, освязаемых
примеров разрешить те вопросы, доказательство которых посредством одних
лишь рассуждений и чертежей затруднительно; такова проблема двух средних
пропорциональных - необходимая составная часть многих задач, для разрешения
которой оба применили механическое приспособление, строя искомые линии на
основе дуг и сегментов. Но, так как Платон негодовал, упрекая их в том, что
они губят достоинство геометрии, которая от бестелесного и умопостигаемого
опускается до чувственного и вновь сопрягается с телами, требующими для
своего изготовления длительного и тяжелого труда ремесленника, механика
полностью отделилась от геометрии и, сделавшись одною из военных наук,
долгое время вовсе не привлекала внимания философов".
Свидетельство Плутарха полностью совпадает с приведенными рассуждениями
Платона, что в свою очередь придает б(льшую достоверность самому этому
свидетельству. Плутарх, как, впрочем, и сам Платон, хорошо передает
атмосферу научной жизни античной Греции, борьбу тенденций в науке, в
частности в математике, которая действительно привела к значительному
обособлению механики и математики, соединение которых можно наблюдать
только в более поздний период, например у Архимеда.
Было бы, однако, не совсем справедливо приписывать одному лишь Платону и
его Академии склонность к разделению теоретической и практически-прикладной
областей: эта склонность характерна вообще для подавляющего большинства
греческих философов, в том числе и для Демокрита, и для Аристотеля, и для
Эпикура. Именно это разделение двух сфер привело, с одной стороны, к
вычленению науки как некоторого самостоятельного по отношению к
практической жизни теоретического образования, органически связанного с
философией, какого не было на Востоке. С другой стороны, это разъединение
(конечно, всегда относительное, а не абсолютное) обусловило специфический
характер древнегреческой науки вообще, а математики в частности, благодаря
которому она отличается от науки нового времени - последней свойственна
гораздо более интимная связь с "механическими приспособлениями", как
выразился Плутарх.
Итак, Платон решительно выступает против внесения в геометрию механических
методов; но это еще не значит, что он отождествляет геометрические фигуры с
самими идеями и не ставит специально вопроса о их существовании - вопроса,
который должен обязательно возникнуть, если онтологический статус
геометрических объектов иной, чем статус идей.
Прокл о воображаемом движении
Платон считал, что предпосылкой существования геометрических объектов
является пространство - нечто среднее между чувственными вещами и
умопостигаемыми идеями. О нем не может быть достоверного знания, какое
получают только посредством ума, но опираясь на него, геометрия "строит"
свои объекты.
Однако вопрос этот, видимо, вызывал много споров, поскольку действительно
его решение у Платона лишь схематически намечено, но не разработано в
деталях. Так, Аристотель постоянно задает Платону и платоникам вопрос, к
какому роду бытия принадлежат геометрические объекты в отличие от
арифметических и "из чего" они образованы. "...Оказывается необходимым, -
пишет Аристотель, - устанавливать еще другой род числа, с которым имеет
дело арифметика, и также все то, что у некоторых получает обозначение
промежуточных объектов; так вот, эти объекты - как они существуют или из
каких образуются начал? а также - почему они будут находиться в промежутке
между здешними вещами и числами самими по себе?"
Надо полагать, в платоновской Академии продолжалось обсуждение вопроса о
том, как существуют геометрические объекты и из каких "начал" образуются;
не удивительно, что этим вопросам уделяют большое внимание неоплатоники, в
частности Прокл в своем комментарии к "Началам" Евклида.
Посмотрим, как Прокл пытается ответить на эти вопросы. Сравнивая между
собой точки зрения Спевсиппа и Менехма, Прокл говорит, что, в сущности, оба
спорящих правы. Права школа Спевсиппа, "ибо проблемы геометрии - иного
рода, чем проблемы механики... Но столь же права и школа Менехма: ибо без
вхождения в материю невозможно нахождение теорем, но я имею в виду
интеллигибельную материю.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99