Как сообщает
Аристотель, "элементами числа они (пифагорейцы. - П.Г.) считают чет и
нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным;
единое состоит у них из того и другого - оно является и четным и нечетным,
число <образуется> из единого, а <различные> числа, как было сказано, это -
вся вселенная"26.
Единое, или единицу (monРj), пифагорейцы, как видно из приведенного текста
Аристотеля, ставили в особое положение: единица для них - это не просто
число, как все остальные27, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно
приобщиться к единице - она же единство. Определение единицы, как его дает
Евклид в VII книге "Начал", явно восходит к пифагорейскому: "Единица есть
то, через что каждое из существующих считается единым"28. Поэтому
пифагорейцы не считают единицу нечетным числом (они вообще не считают ее
числом, а скорее началом числа)29; первым четным числом у них является
двойка, а первым нечетным - тройка.
Но почему четное соотносится с беспредельным, а нечетное - с пределом?
Чтобы понять это, надо иметь в виду, что для пифагорейцев числа имели также
зрительный образ; число для них было не просто количеством, а имело
качественную характеристику. Это, видимо, было связано также и с тем, что
древние математики изображали числа геометрически. "Представлять числа в
виде геометрических образцов, - пишет У.К. Гатри, - было обычной практикой
пифагорейцев; вероятно, это была самая ранняя практика и у греков, и у
других народов"30. Благодаря этому арифметика и геометрия у пифагорейцев
были очень тесно связаны. Поэтому пифагорейцы различали линейные, плоские и
телесные числа. Так, единица у них выступала как точка, двойка - как линия
(две точки), тройка - как плоскость (рис. 1), четверка - как тело ("первое"
тело - пирамида; рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Теперь присмотримся к характеру первого четного и первого нечетного чисел.
Первое нечетное - тройка - имеет начало, конец и середину. Оно тем самым, с
точки зрения пифагорейцев, завершено и довлеет себе, есть замкнутое целое.
Тройка, согласно пифагорейцам, - это элементарный треугольник, совершенная
фигура. Что же касается двойки, то у нее недостает середины, поэтому она не
имеет центра в себе и ей свойственно растекаться в беспредельность31. И в
самом деле, двойка - это определение линии, а линия неограниченно
простирается в обе стороны32.
Аристотель в "Физике" разъясняет пифагорейское учение о чете и нечете
следующим образом: "...пифагорейцы считают бесконечное четным числом, оно,
будучи заключено внутри и ограничено нечетным числом, сообщает существующим
вещам бесконечность. Доказательством служит то, что происходит с числами:
именно, если накладывать гномоны вокруг единицы и сделать это далее (для
четных и нечетных отдельно), в одном случае получается всегда особый вид
фигуры, в другом - один и тот же"33.
Гномоном в Древней Греции назывался вертикальный стержень, поставленный на
горизонтальной плоскости (первые солнечные часы). Пифагорейцы именовали
гномоном фигуру, полученную при операции образования большего квадратного
числа из меньшего. Гномонами они называли нечетные числа, так как
обнаружили, что если их последовательно прибавлять к единице, то они
сохраняют фигуру квадрата: 1 + 3 = 22; 4 + 5 = 32 и т.д. Графически это
изображалось следующим образом (рис. 3). Последовательные гномоны имеют
форму, изображенную на рис. 4. Как видим, путем наложения гномонов
сохраняется один и тот же вид фигуры - квадрат. Именно это свойство
нечетных чисел - образовывать в результате их прибавления одну и ту же,
хотя и возрастающую в размерах, фигуру - было существенно для пифагорейцев.
Рис. 3 Рис. 4
А что имеет в виду Аристотель, говоря о другом случае - о случае, когда
каждый раз возникает особая фигура? Оказывается, если складывать числа
четные, то будем получать не квадрат, а прямоугольник: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Эти числа пифагорейцы называли "прямоугольными" в отличие от первых -
"квадратных": 4, 9, 16, 25 и т.д. Четные числа впоследствии стали называть
гномонами прямоугольников. Нечетное число, таким образом, сохраняет себя
(свою форму), а потому оно - предел, единое, покоящееся, прямое,
квадратное, хорошее; четное же теряет свою форму: оно беспредельное,
множество, движущееся (изменчивое), кривое, неквадратное (разностороннее),
дурное.
Для ранних пифагорейцев вообще характерно стремление к выделению
совершенных чисел, т.е. таких, в которых воплощаются особенно значимые, с
их точки зрения, связи природы и человеческой души. Такое рассмотрение
числа, по-видимому, восходит к мифологической и культовой символике, но у
пифагорейцев операции с совершенными числами ведут к установлению ряда
числовых соотношений, важного для дальнейшего развития математики в Древней
Греции.
Числовая символика пифагорейцев
В пифагорейском союзе первоначально уделялось много внимания числовой
символике. Так, к уже ранее найденным семеркам - семь элементов, семь сфер
вселенной, семь частей тела, семь возрастов человека, семь времен года и
т.д. - пифагорейцы прибавили семь музыкальных тонов и семь планет. Однако
уже первые операции над числами привели к тому, что семерка уступила место
десятке. О том, как это произошло, дает представление следующий отрывок из
Лаврентия Лида: "Итак, правильно Филолай назвал число 7 "не имеющим
матери". Ибо оно по своей природе ни рождает, ни рождается. Не рождающее же
и не рождаемое - неподвижно"34. Этот отрывок дает представление о
символическом языке пифагорейцев. Смысл сказанного на этом языке таков:
семерка - простое число, она не возникает из множителей, как другие числа:
4, 6, 8, 9, 10. Можно, правда, рассматривать ее как произведение 1(7, но
положение единицы как сомножителя в пифагорейской математике
неоднозначно35. Именно поэтому в некоторых свидетельствах сообщается о том,
что семерка не рождена от матери, но имеет только отца - монаду (в этом
случае единица принимается за сомножитель); в других же случаях говорится,
что у нее нет ни матери, ни отца. Семерка была низведена с пьедестала
самого совершенного числа и уступила место десятке потому, что, как
сообщают свидетельства, она неподвижна, не рождается от других чисел и сама
не рождает36.
Сам по себе переход от семерки к десятке как совершенному числу37 не
означает какого-то существенного сдвига, ибо происходит еще в русле
прежнего, сакрально-мифологического отношения к "священному числу". Но
мотивировка этого перехода нам представляется весьма существенной для
понимания того, как в пифагорейской школе совершался переход от древней
мифолого-сакральной числовой символики к выявлению математических числовых
отношений.
В самом деле, как рассматриваются числа, освященные в разных древних
культурах, - семерка, пятерка, тройка и другие? Точно так же, как мы уже
видели у Гиппократа: в форме перечисления семеричных реалий: природных
стихий, времен года, периодов человеческой жизни и т.д. И чем больше
обнаруживается такого рода семеричных, пятеричных, троичных реалий, тем
ярче становится ореол совершенства вокруг семерки, пятерки, троицы.
Возможно, и пифагорейцы начали именно с этого. (И не только начали - они и
в дальнейшем продолжали вскрывать подобного рода инварианты, только уже в
виде инвариантных пропорций, что существенно меняло способ их анализа
числа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
Аристотель, "элементами числа они (пифагорейцы. - П.Г.) считают чет и
нечет, из коих первый является неопределенным, а второй определенным;
единое состоит у них из того и другого - оно является и четным и нечетным,
число <образуется> из единого, а <различные> числа, как было сказано, это -
вся вселенная"26.
Единое, или единицу (monРj), пифагорейцы, как видно из приведенного текста
Аристотеля, ставили в особое положение: единица для них - это не просто
число, как все остальные27, а начало чисел; чтобы стать числом, все должно
приобщиться к единице - она же единство. Определение единицы, как его дает
Евклид в VII книге "Начал", явно восходит к пифагорейскому: "Единица есть
то, через что каждое из существующих считается единым"28. Поэтому
пифагорейцы не считают единицу нечетным числом (они вообще не считают ее
числом, а скорее началом числа)29; первым четным числом у них является
двойка, а первым нечетным - тройка.
Но почему четное соотносится с беспредельным, а нечетное - с пределом?
Чтобы понять это, надо иметь в виду, что для пифагорейцев числа имели также
зрительный образ; число для них было не просто количеством, а имело
качественную характеристику. Это, видимо, было связано также и с тем, что
древние математики изображали числа геометрически. "Представлять числа в
виде геометрических образцов, - пишет У.К. Гатри, - было обычной практикой
пифагорейцев; вероятно, это была самая ранняя практика и у греков, и у
других народов"30. Благодаря этому арифметика и геометрия у пифагорейцев
были очень тесно связаны. Поэтому пифагорейцы различали линейные, плоские и
телесные числа. Так, единица у них выступала как точка, двойка - как линия
(две точки), тройка - как плоскость (рис. 1), четверка - как тело ("первое"
тело - пирамида; рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Теперь присмотримся к характеру первого четного и первого нечетного чисел.
Первое нечетное - тройка - имеет начало, конец и середину. Оно тем самым, с
точки зрения пифагорейцев, завершено и довлеет себе, есть замкнутое целое.
Тройка, согласно пифагорейцам, - это элементарный треугольник, совершенная
фигура. Что же касается двойки, то у нее недостает середины, поэтому она не
имеет центра в себе и ей свойственно растекаться в беспредельность31. И в
самом деле, двойка - это определение линии, а линия неограниченно
простирается в обе стороны32.
Аристотель в "Физике" разъясняет пифагорейское учение о чете и нечете
следующим образом: "...пифагорейцы считают бесконечное четным числом, оно,
будучи заключено внутри и ограничено нечетным числом, сообщает существующим
вещам бесконечность. Доказательством служит то, что происходит с числами:
именно, если накладывать гномоны вокруг единицы и сделать это далее (для
четных и нечетных отдельно), в одном случае получается всегда особый вид
фигуры, в другом - один и тот же"33.
Гномоном в Древней Греции назывался вертикальный стержень, поставленный на
горизонтальной плоскости (первые солнечные часы). Пифагорейцы именовали
гномоном фигуру, полученную при операции образования большего квадратного
числа из меньшего. Гномонами они называли нечетные числа, так как
обнаружили, что если их последовательно прибавлять к единице, то они
сохраняют фигуру квадрата: 1 + 3 = 22; 4 + 5 = 32 и т.д. Графически это
изображалось следующим образом (рис. 3). Последовательные гномоны имеют
форму, изображенную на рис. 4. Как видим, путем наложения гномонов
сохраняется один и тот же вид фигуры - квадрат. Именно это свойство
нечетных чисел - образовывать в результате их прибавления одну и ту же,
хотя и возрастающую в размерах, фигуру - было существенно для пифагорейцев.
Рис. 3 Рис. 4
А что имеет в виду Аристотель, говоря о другом случае - о случае, когда
каждый раз возникает особая фигура? Оказывается, если складывать числа
четные, то будем получать не квадрат, а прямоугольник: 2, 6, 12, 20 и т.д.
Эти числа пифагорейцы называли "прямоугольными" в отличие от первых -
"квадратных": 4, 9, 16, 25 и т.д. Четные числа впоследствии стали называть
гномонами прямоугольников. Нечетное число, таким образом, сохраняет себя
(свою форму), а потому оно - предел, единое, покоящееся, прямое,
квадратное, хорошее; четное же теряет свою форму: оно беспредельное,
множество, движущееся (изменчивое), кривое, неквадратное (разностороннее),
дурное.
Для ранних пифагорейцев вообще характерно стремление к выделению
совершенных чисел, т.е. таких, в которых воплощаются особенно значимые, с
их точки зрения, связи природы и человеческой души. Такое рассмотрение
числа, по-видимому, восходит к мифологической и культовой символике, но у
пифагорейцев операции с совершенными числами ведут к установлению ряда
числовых соотношений, важного для дальнейшего развития математики в Древней
Греции.
Числовая символика пифагорейцев
В пифагорейском союзе первоначально уделялось много внимания числовой
символике. Так, к уже ранее найденным семеркам - семь элементов, семь сфер
вселенной, семь частей тела, семь возрастов человека, семь времен года и
т.д. - пифагорейцы прибавили семь музыкальных тонов и семь планет. Однако
уже первые операции над числами привели к тому, что семерка уступила место
десятке. О том, как это произошло, дает представление следующий отрывок из
Лаврентия Лида: "Итак, правильно Филолай назвал число 7 "не имеющим
матери". Ибо оно по своей природе ни рождает, ни рождается. Не рождающее же
и не рождаемое - неподвижно"34. Этот отрывок дает представление о
символическом языке пифагорейцев. Смысл сказанного на этом языке таков:
семерка - простое число, она не возникает из множителей, как другие числа:
4, 6, 8, 9, 10. Можно, правда, рассматривать ее как произведение 1(7, но
положение единицы как сомножителя в пифагорейской математике
неоднозначно35. Именно поэтому в некоторых свидетельствах сообщается о том,
что семерка не рождена от матери, но имеет только отца - монаду (в этом
случае единица принимается за сомножитель); в других же случаях говорится,
что у нее нет ни матери, ни отца. Семерка была низведена с пьедестала
самого совершенного числа и уступила место десятке потому, что, как
сообщают свидетельства, она неподвижна, не рождается от других чисел и сама
не рождает36.
Сам по себе переход от семерки к десятке как совершенному числу37 не
означает какого-то существенного сдвига, ибо происходит еще в русле
прежнего, сакрально-мифологического отношения к "священному числу". Но
мотивировка этого перехода нам представляется весьма существенной для
понимания того, как в пифагорейской школе совершался переход от древней
мифолого-сакральной числовой символики к выявлению математических числовых
отношений.
В самом деле, как рассматриваются числа, освященные в разных древних
культурах, - семерка, пятерка, тройка и другие? Точно так же, как мы уже
видели у Гиппократа: в форме перечисления семеричных реалий: природных
стихий, времен года, периодов человеческой жизни и т.д. И чем больше
обнаруживается такого рода семеричных, пятеричных, троичных реалий, тем
ярче становится ореол совершенства вокруг семерки, пятерки, троицы.
Возможно, и пифагорейцы начали именно с этого. (И не только начали - они и
в дальнейшем продолжали вскрывать подобного рода инварианты, только уже в
виде инвариантных пропорций, что существенно меняло способ их анализа
числа.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99