Поскольку, следовательно, идеи входят в нее и
оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо
деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник
фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними".
Платон не пользуется терминами, которые употребляет здесь Прокл:
"интеллигибельная материя" и "фантазия". Но то, что названо этими
терминами, мы у Платона уже встречали: интеллигибельная материя - это ведь
гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого - интеллигибельного и
чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для
пространства. А способность, которой постигается эта "интеллигибельная
материя", носит у Прокла название "фантазии".
Что же касается аргументов Спевсиппа, то их Прокл считает относящимися к
вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов
механическим путем; и в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему,
смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова
Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую
фигуру, мы "берем вечно сущее как нечто становящееся". Любой геометрический
объект - это вечно сущее, взятое как становление; стихия геометрии - это,
стало быть, интеллигибельная (вечно сущее) материя (становление).
Значит, постулаты Евклида представляют собой способы оперирования с этой
"интеллигибельной материей" - пространством? Мы не знаем, как
интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их
истолковать так же.
Приведем еще одно разъяснение Прокла. "Возможность провести прямую из любой
точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и
прямая - равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение.
Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и
кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование
выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны".
Вот, стало быть, что означает, согласно Проклу, первый постулат Евклида:
это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не
требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы
представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления -
сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие,
чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она
сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который
движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка
- это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления,
в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то
место, в каком она движется?
Прокл отвечает на этот вопрос так: "Но если бы у кого-нибудь возникли
затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный
геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку)
- ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком
огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении
(kЕnhsiV fantastikя); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка)
подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо
неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и
фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное
движение".
Таким образом, движение геометрической точки совершается не в
умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в
воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла
получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом
соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют
собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит
о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог,
телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной "бумаге" -
пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.
Промежуточная способность теперь названа "фантазией", а промежуточное бытие
- "интеллигибельной материей". Нам думается, что хотя термины эти
принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен
им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в
некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в
рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.
Теперь к вопросу о линейке и циркуле: видимо, Платон признавал эти
инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему
"телесному зрению" те фигуры, которые мы реально "порождаем" в фантазии;
чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде "вторых подобий" -
так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже
движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю,
хотя и "интеллигибельную"; а движение стилета по восковой дощечке есть уже
чувственное подобие движения точки в фантазии.
Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая
наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что
геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у
Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией,
какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало
возможным совсем новое истолкование математической программы античности.
Иерархия математических наук
Мы выяснили, в чем Платон видел различие между числами и геометрическими
фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и
геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и
познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому
является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается
геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы
нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" -
пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для
арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах
Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к
постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к
высшему познанию.
Большинство историков науки согласны между собой в том, что греческая
математика отличается от средневековой и особенно от математики нового
времени. К характерным ее чертам принадлежит, в частности, специфическое
отношение к числу, носящее ярко выраженный аксиологический характер. Такое
отношение к числу особенно характерно для математиков и философов,
принадлежащих к пифагорейской школе и к платоновской Академии. Анализ
платоновских произведений показывает, как складывалось и чем мотивировалось
ценностное отношение к математике.
Само происхождение знаний о числе представляется Платону достойным всякого
почитания. "Давайте рассмотрим, - говорит он, - как мы выучились считать.
Скажите: откуда у нас появилось понятие единицы, двойки?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
оформляют ее, справедливо говорят, что они уподобляются становящемуся. Ибо
деятельность нашего духа и эманацию его идей мы характеризуем как источник
фигур в нашей фантазии и процессов, совершающихся с ними".
Платон не пользуется терминами, которые употребляет здесь Прокл:
"интеллигибельная материя" и "фантазия". Но то, что названо этими
терминами, мы у Платона уже встречали: интеллигибельная материя - это ведь
гибрид, соединение, казалось бы, несоединимого - интеллигибельного и
чувственного, то самое соединение, которое Платон считал характерным для
пространства. А способность, которой постигается эта "интеллигибельная
материя", носит у Прокла название "фантазии".
Что же касается аргументов Спевсиппа, то их Прокл считает относящимися к
вопросу о невозможности конструирования геометрических объектов
механическим путем; и в этом пункте позиция Спевсиппа, судя по всему,
смыкается с платоновской. Но теперь понятны нам и приведенные Проклом слова
Спевсиппа о том, что, беря равносторонний треугольник или любую другую
фигуру, мы "берем вечно сущее как нечто становящееся". Любой геометрический
объект - это вечно сущее, взятое как становление; стихия геометрии - это,
стало быть, интеллигибельная (вечно сущее) материя (становление).
Значит, постулаты Евклида представляют собой способы оперирования с этой
"интеллигибельной материей" - пространством? Мы не знаем, как
интерпретировал постулаты сам Евклид, но, по-видимому, Платон мог бы их
истолковать так же.
Приведем еще одно разъяснение Прокла. "Возможность провести прямую из любой
точки в любую точку вытекает из того, что линия есть течение точки, и
прямая - равнонаправленное (gleichgerichtete) и не отклоняющееся течение.
Представим, следовательно, себе, что точка совершает равнонаправленное и
кратчайшее движение; тогда мы достигнем другой точки, и первое требование
выполнено без всякого сложного мыслительного процесса с нашей стороны".
Вот, стало быть, что означает, согласно Проклу, первый постулат Евклида:
это простейший акт представления того, как движется точка. Простейший, не
требующий от нас особых усилий. Но если не нужно особых усилий, чтобы
представить себе (а представление, образ относятся к сфере становления -
сравни у Спевсиппа), как движется точка, то нужно сделать большое усилие,
чтобы понять, где же, в какой стихии эта точка движется и что такое она
сама. Может быть, это шарик, катящийся по столу? Или кусок мела, который
движется по доске? Но они - не точки, а чувственные вещи. Может быть, точка
- это идея? Но идея не может двигаться, она не причастна миру становления,
в котором только и может иметь место движение. Что же такое точка и где то
место, в каком она движется?
Прокл отвечает на этот вопрос так: "Но если бы у кого-нибудь возникли
затруднения относительно того, как мы вносим движение в неподвижный
геометрический мир и как мы движем то, что не имеет частей (а именно точку)
- ибо это ведь совершенно немыслимо, то мы попросим его не слишком
огорчаться... Мы должны представлять движение не телесно, а в воображении
(kЕnhsiV fantastikя); и мы не можем признать, что не имеющее частей (точка)
подвержено телесному движению, скорее оно подлежит движениям фантазии. Ибо
неделимый ум (noаV) движется, хотя и не способом перемещения; также и
фантазия, соответственно своему неделимому бытию, имеет свое собственное
движение".
Таким образом, движение геометрической точки совершается не в
умопостигаемом мире, но и не в мире телесном; оно совершается в
воображаемом мире: точка движется в фантазии. Такое название у Прокла
получила способность, которая, согласно Платону, подобна сну. И в прямом
соответствии с утверждением Платона, что чертежи на песке представляют
собой только чувственные подобия геометрических фигур, Прокл далее говорит
о том, что телесное движение карандаша по бумаге есть лишь телесный аналог,
телесный образ движения бестелесной точки по бестелесной "бумаге" -
пространству, т.е. движение, совершаемое в фантазии.
Промежуточная способность теперь названа "фантазией", а промежуточное бытие
- "интеллигибельной материей". Нам думается, что хотя термины эти
принадлежат Проклу, но онтологический статус объектов геометрии определен
им вполне в духе философии математики Платона. Если позиция Спевсиппа в
некоторых пунктах и не вполне совпадала с платоновской, то в
рассматриваемом вопросе она, как нам кажется, весьма близка к платоновской.
Теперь к вопросу о линейке и циркуле: видимо, Платон признавал эти
инструменты подходящими только для того, чтобы представить нашему
"телесному зрению" те фигуры, которые мы реально "порождаем" в фантазии;
чертежи на песке или на бумаге казались ему чем-то вроде "вторых подобий" -
так же, как и произведения искусства. Почему вторых? Потому что даже
движение точки в фантазии есть нечто вторичное, оно предполагает материю,
хотя и "интеллигибельную"; а движение стилета по восковой дощечке есть уже
чувственное подобие движения точки в фантазии.
Исходя из сказанного, можно сделать следующий важный вывод: древнегреческая
наука принципиально не могла последовательно провести мысль о том, что
геометрический объект - точка - движется в материальном мире. Даже у
Архимеда и Герона еще не было той формы связи между механикой и геометрией,
какая возникла только в эпоху Возрождения и благодаря которой стало
возможным совсем новое истолкование математической программы античности.
Иерархия математических наук
Мы выяснили, в чем Платон видел различие между числами и геометрическими
фигурами. Понятно, что различие в онтологическом статусе арифметических и
геометрических объектов должно обусловливать, согласно Платону, также и
познавательную значимость этих двух математических наук. Арифметика поэтому
является первой в ряду наук и наиболее логически обоснованной. Что касается
геометрии, то она не имеет строго логического обоснования, ибо ее элементы
нуждаются для своего обоснования также в "интеллигибельной материи" -
пространстве. Для геометрии наглядность ("созерцание") необходима, для
арифметики - нет. Тем не менее все математические науки имеют в глазах
Платона высокий ценностный статус: все они в той или иной мере причастны к
постижению высшего бытия, а потому и должны почитаться как средства к
высшему познанию.
Большинство историков науки согласны между собой в том, что греческая
математика отличается от средневековой и особенно от математики нового
времени. К характерным ее чертам принадлежит, в частности, специфическое
отношение к числу, носящее ярко выраженный аксиологический характер. Такое
отношение к числу особенно характерно для математиков и философов,
принадлежащих к пифагорейской школе и к платоновской Академии. Анализ
платоновских произведений показывает, как складывалось и чем мотивировалось
ценностное отношение к математике.
Само происхождение знаний о числе представляется Платону достойным всякого
почитания. "Давайте рассмотрим, - говорит он, - как мы выучились считать.
Скажите: откуда у нас появилось понятие единицы, двойки?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99