Поэтому истинные полуквартильные отклонения в данном случае необходимо было рассчитывать с учетом вычисленного значения для медианы (или Q2), a именно, что Л1е=28,25. Тогда мы получаем для левого интервала Q2~Q, =28,25-21,58=6,67, для правого интервала Q3-Q2=36,58-28,25=8,33. С помощью данного приема можно очень легко определить право- и левостороннюю асимметрию любого распределения:
если Q3-Q,>Q2-Q,, то имела место правосторонняя асимметрия; если Q3~Q2И только при равенстве указанных разностей можно говорить о строго симметричном распределении.
Для каких целей служат меры центральной тенденции (М или Me) и меры изменчивости (D, S, о, Q)? Во-первых, эти меры используются для интерпретации первичных результатов. На основе полученных значений мер центральной тенденции можно, например, предвидеть наиболее вероятные результаты аналогичного исследования другой выборки. На основе же мер изменчивости можно оценить точность проведенных измерений, т. е. выявить случайные ошибки измерения. Во-вторых, та или иная из вышеназванных мер необходима для проверки статистической значимости различий (см. с. 274, Приложение I: /-критерий Стьюдента) между результатами исследо-
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________29
вания двух разных выборок, а также для вычисления так называемых коэффициентов корреляции, о которых сейчас пойдет речь.
Меры взаимосвязи. Коэффициентами корреляции пользуются для того, чтобы выяснить, существует ли взаимосвязь между двумя переменными, и определить ее степень, т. е. тесноту взаимосвязи. Значение коэффициента корреляции изменяется от -1 до +1. Величины, лежащие в этих пределах, отражают максимально возможную взаимосвязь сравниваемых переменных. Когда коэффициент корреляции равен нулю, то это означает, что взаимосвязь отсутствует. Положительная корреляционная связь указывает на прямо пропорциональное отношение между двумя переменными, а отрицательная — на обратно пропорциональную взаимосвязь. Чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции, тем теснее связь между изучаемыми переменными. При значениях коэффициентов ± 1 можно говорить об отношении тождественности между переменными.
При сравнении порядковых величин пользуются коэффициентом ранговой корреляции по Ч. Спирмену (р), при сравнении интервальных величин — коэффициентом корреляции произведений по К. Пирсону (г). Рассмотрим кратко способы расчета этих коэффициентов.
Допустим, что с помощью двух опросников (X и Y), требующих альтернативных ответов «да» или «нет», были получены первичные результаты — ответы 15 испытуемых (N=15). Результаты представлены в виде сумм баллов за утвердительные ответы («да») для каждого испытуемого отдельно для опросника X и опросника У. Требуется определить, измеряют ли опросники X и Y похожие личностные качества испытуемых, или не измеряют. Можно предположить, что если опросники по содержанию и формулировкам мало отличаются друг от друга, то сумма баллов, набранная каждым из испытуемых по опроснику X, будет близка к сумме баллов, набранных по опроснику Y.
Полученные в эксперименте первичные результаты представляют собой два ряда порядковых величин для переменной X и для переменной Y. Для установления взаимосвязи между каждой парой порядковых величин применяют коэффициент порядковой корреляции Спирмена (р). Для расчета величины р известна следующая формула:
. 6Irf2 Р N(N2-l)'
где N — число сравниваемых пар величин двух переменных и d2 — квадрат разностей рангов этих величин.
Для вычисления предстоит проделать ряд операций. Прежде всего надлежит табулировать все первичные результаты (табл. 1.1.7). В 1-й графе записывают номер испытуемого, а во 2-й и 3-й — полученные им суммы баллов по первой методике (переменная X) и по второй (переменная У).
Затем каждому первичному результату присваивают ранг. Эта процедура называется ранжированием. Начинают ее с того, что среди всех значений переменной X находят наибольшее и в одной строке с ним, но уже в 4-й графе (Rx) проставляют единицу, что и означает 1-й ранг. В нашем случае мак-
30
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.7
Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента корреляции по Спирмену (р)
Номер испытуемого
Л
У
КХ
RY
d
d2
1
47
75
11,0
8,0
3,0
9,00
2
71
79
4,0
6,0
2,0
4,00
3
52
85
9,0
5,0
4,0
16,00
4
48
50
10,0
14,0
4,0
16,00
5
35
49
14,5
15,0
0,5
0,25
6
35
59
14,5
12,0
2,5
6,25
7
41
75
12,5
8,0
4,5
20,25
8
82
91
1,0
3,0
2,0
4,00
9
72
102
3,0
1,0
2,0
4,00
10
56
87
7,0
4,0
3,0
9,00
11
59
70
6,0
10,0
4,0
16,00
12
73
92
2,0
2,0
0,0
0,00
13
60
54
5,0
13,0
8,0
64,00
14
55
75
8,0
8,0
0,0
0,00
15
41
68
12,5
11,0
1,5
2,25
Таким образом: p = 1-
Sd'=71,00 = 0,695.
симальное число баллов по методике X получил испытуемый № 8, и поэтому именно его результату следует присвоить 1-й ранг. Затем находят второй по величине результат и в его строке указывают соответственно 2-й ранг. В нашем примере необходимо обратить внимание на следующее: испытуемые № 7 и 15 получили по 41 баллу, а испытуемые № 5 и 6 —по 35 баллов. Для таких случаев принято следующее правило: если в ранжируемом ряду встречаются одинаковые величины, то для них находят среднее значение и Считают, что оно определяет ранг как одной, так и другой величины. Следовательно, испытуемым № 7 и 15 надо присвоить одинаковый ранг, а именно 12,5, а испытуемым № 5 и 6 — 14,5, поскольку (12+13):2= 12,5 и (14+15): 2=14,5. Аналогично осуществляют ранжирование по второй методике, т. е. для переменной У. Заметим, что в данном случае уже трое испытуемых № 1,7 и 14 получили по одинаковому числу баллов — 75. Первичным результатам этих испытуемых должны были бы быть присвоены 7, 8 и 9-й ранги.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________31
Усреднив эти ранги, каждому испытуемому присваивают одинаковый ранг, в данном случае — 8-й.
На следующем этапе табулирования определяют разность рангов для каждой пары значений X и Y и полученные результаты проставляют в 6-й графе: d =RX~RY. Наконец, в 7-й графе отражены значения квадратов разности рангов, т. е. d2 для каждой пары X и Y. Полученные величины суммируют и записывают в последней строке таблицы: Id2. Полученную величину (в нашем примере 1о?2 = 171) и подставляют в формулу коэффициента ранговой корреляции.
В нашем примере р =0,695. Положительное значение полученного коэффициента позволяет утверждать, что оба опросника — X и Y — дают возможность выявлять похожие, но не идентичные личностные свойства.
Коэффициент корреляции по формуле Пирсона рассчитывается на основе отклонения первичных результатов и среднего квадратичного отклонения от их среднеарифметического значения. Формула расчета коэффициента корреляции по К. Пирсону может быть представлена следующим образом:
'" WY'
где х — отклонение величины X (первичного результата) от средней арифметической Мх; у — отклонение величины Y (первичного результата) от средней арифметической MY; "Zx-y — алгебраическая сумма произведений отклонений х и у от Мх и Му; N — объем выборки сравниваемых пар первичных результатов; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов X; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов Y.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
если Q3-Q,>Q2-Q,, то имела место правосторонняя асимметрия; если Q3~Q2
Для каких целей служат меры центральной тенденции (М или Me) и меры изменчивости (D, S, о, Q)? Во-первых, эти меры используются для интерпретации первичных результатов. На основе полученных значений мер центральной тенденции можно, например, предвидеть наиболее вероятные результаты аналогичного исследования другой выборки. На основе же мер изменчивости можно оценить точность проведенных измерений, т. е. выявить случайные ошибки измерения. Во-вторых, та или иная из вышеназванных мер необходима для проверки статистической значимости различий (см. с. 274, Приложение I: /-критерий Стьюдента) между результатами исследо-
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________29
вания двух разных выборок, а также для вычисления так называемых коэффициентов корреляции, о которых сейчас пойдет речь.
Меры взаимосвязи. Коэффициентами корреляции пользуются для того, чтобы выяснить, существует ли взаимосвязь между двумя переменными, и определить ее степень, т. е. тесноту взаимосвязи. Значение коэффициента корреляции изменяется от -1 до +1. Величины, лежащие в этих пределах, отражают максимально возможную взаимосвязь сравниваемых переменных. Когда коэффициент корреляции равен нулю, то это означает, что взаимосвязь отсутствует. Положительная корреляционная связь указывает на прямо пропорциональное отношение между двумя переменными, а отрицательная — на обратно пропорциональную взаимосвязь. Чем больше абсолютное значение коэффициента корреляции, тем теснее связь между изучаемыми переменными. При значениях коэффициентов ± 1 можно говорить об отношении тождественности между переменными.
При сравнении порядковых величин пользуются коэффициентом ранговой корреляции по Ч. Спирмену (р), при сравнении интервальных величин — коэффициентом корреляции произведений по К. Пирсону (г). Рассмотрим кратко способы расчета этих коэффициентов.
Допустим, что с помощью двух опросников (X и Y), требующих альтернативных ответов «да» или «нет», были получены первичные результаты — ответы 15 испытуемых (N=15). Результаты представлены в виде сумм баллов за утвердительные ответы («да») для каждого испытуемого отдельно для опросника X и опросника У. Требуется определить, измеряют ли опросники X и Y похожие личностные качества испытуемых, или не измеряют. Можно предположить, что если опросники по содержанию и формулировкам мало отличаются друг от друга, то сумма баллов, набранная каждым из испытуемых по опроснику X, будет близка к сумме баллов, набранных по опроснику Y.
Полученные в эксперименте первичные результаты представляют собой два ряда порядковых величин для переменной X и для переменной Y. Для установления взаимосвязи между каждой парой порядковых величин применяют коэффициент порядковой корреляции Спирмена (р). Для расчета величины р известна следующая формула:
. 6Irf2 Р N(N2-l)'
где N — число сравниваемых пар величин двух переменных и d2 — квадрат разностей рангов этих величин.
Для вычисления предстоит проделать ряд операций. Прежде всего надлежит табулировать все первичные результаты (табл. 1.1.7). В 1-й графе записывают номер испытуемого, а во 2-й и 3-й — полученные им суммы баллов по первой методике (переменная X) и по второй (переменная У).
Затем каждому первичному результату присваивают ранг. Эта процедура называется ранжированием. Начинают ее с того, что среди всех значений переменной X находят наибольшее и в одной строке с ним, но уже в 4-й графе (Rx) проставляют единицу, что и означает 1-й ранг. В нашем случае мак-
30
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.7
Табулирование первичных результатов для расчета коэффициента корреляции по Спирмену (р)
Номер испытуемого
Л
У
КХ
RY
d
d2
1
47
75
11,0
8,0
3,0
9,00
2
71
79
4,0
6,0
2,0
4,00
3
52
85
9,0
5,0
4,0
16,00
4
48
50
10,0
14,0
4,0
16,00
5
35
49
14,5
15,0
0,5
0,25
6
35
59
14,5
12,0
2,5
6,25
7
41
75
12,5
8,0
4,5
20,25
8
82
91
1,0
3,0
2,0
4,00
9
72
102
3,0
1,0
2,0
4,00
10
56
87
7,0
4,0
3,0
9,00
11
59
70
6,0
10,0
4,0
16,00
12
73
92
2,0
2,0
0,0
0,00
13
60
54
5,0
13,0
8,0
64,00
14
55
75
8,0
8,0
0,0
0,00
15
41
68
12,5
11,0
1,5
2,25
Таким образом: p = 1-
Sd'=71,00 = 0,695.
симальное число баллов по методике X получил испытуемый № 8, и поэтому именно его результату следует присвоить 1-й ранг. Затем находят второй по величине результат и в его строке указывают соответственно 2-й ранг. В нашем примере необходимо обратить внимание на следующее: испытуемые № 7 и 15 получили по 41 баллу, а испытуемые № 5 и 6 —по 35 баллов. Для таких случаев принято следующее правило: если в ранжируемом ряду встречаются одинаковые величины, то для них находят среднее значение и Считают, что оно определяет ранг как одной, так и другой величины. Следовательно, испытуемым № 7 и 15 надо присвоить одинаковый ранг, а именно 12,5, а испытуемым № 5 и 6 — 14,5, поскольку (12+13):2= 12,5 и (14+15): 2=14,5. Аналогично осуществляют ранжирование по второй методике, т. е. для переменной У. Заметим, что в данном случае уже трое испытуемых № 1,7 и 14 получили по одинаковому числу баллов — 75. Первичным результатам этих испытуемых должны были бы быть присвоены 7, 8 и 9-й ранги.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________31
Усреднив эти ранги, каждому испытуемому присваивают одинаковый ранг, в данном случае — 8-й.
На следующем этапе табулирования определяют разность рангов для каждой пары значений X и Y и полученные результаты проставляют в 6-й графе: d =RX~RY. Наконец, в 7-й графе отражены значения квадратов разности рангов, т. е. d2 для каждой пары X и Y. Полученные величины суммируют и записывают в последней строке таблицы: Id2. Полученную величину (в нашем примере 1о?2 = 171) и подставляют в формулу коэффициента ранговой корреляции.
В нашем примере р =0,695. Положительное значение полученного коэффициента позволяет утверждать, что оба опросника — X и Y — дают возможность выявлять похожие, но не идентичные личностные свойства.
Коэффициент корреляции по формуле Пирсона рассчитывается на основе отклонения первичных результатов и среднего квадратичного отклонения от их среднеарифметического значения. Формула расчета коэффициента корреляции по К. Пирсону может быть представлена следующим образом:
'" WY'
где х — отклонение величины X (первичного результата) от средней арифметической Мх; у — отклонение величины Y (первичного результата) от средней арифметической MY; "Zx-y — алгебраическая сумма произведений отклонений х и у от Мх и Му; N — объем выборки сравниваемых пар первичных результатов; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов X; ах — среднее квадратичное отклонение для первичных результатов Y.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170