Существуют точные формулы определения числа разрядов, или классов группировки, и их диапазона, т. е. ширины класса. Однако группировка возможна только при достаточно большом числе экспериментальных данных или наблюдений. В большинстве случаев исходят из следующего эмпирического правила: при числе данных, значительно превышающем 25, целесообразно их группировать не менее чем в 10 и не более чем в 20 классов. При этом в качестве величин, характеризующих ширину класса группировки, используют следующие величины: 1; 2; 3; 5; 10; 20.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Для разъяснения процедуры группировки обратимся к числовому примеру. Допустим, что приведенные ниже числа образуют так называемый массив данных, т. е. характеризуют все правильные ответы испытуемых на некоторый психологический тест:
55;
25; 33; 35; 37;
34; 29; 44;
33; 42; 15;
27; 40; 33; 39; 28;
36; 22; 51; 29; 21; '28; 29;
36; 41; 20;' 25; 38; 47; 32;
10; 16; 34; 18; 14;
15; 27; 27; 33; 46;
46; 21; 19; 26; 19; 17; 24; 21; 27; 16.
Для группировки в этом массиве данных прежде всего необходимо найти в нем максимальное (55) и минимальное (10) числа и на основе их разности определить размах распределения (55-10=45). Вполне очевидно, что для получения не менее чем 10 классов группировки, ширина класса в нашем примере должна быть не меньше 5. Далее необходимо установить границы классов группировки, причем таким образом, чтобы и максимальное (55) и минимальное (10) числа из массива данных попали в нижний и верхний классы. Для этого построим табл. 1.1.4.
Рассмотрим более подробно каждую из граф табл. 1.1.4. В 1-й графе указывают число классов группировки. Классу, содержащему минимальные величины массива первичных данных, присваивают номер 1, последующим — последующие порядковые номера до п классов. Во 2-й графе указывают, каким образом определены классы группировки. А именно; на основе числа 5 как характеристики ширины класса было образовано 10 классов группировки (10-й класс: 59, 58, 57, 56, 55; 9-й класс: 54, 53, 52, 51, 50 и т. д.).
Мы помним, что в данном случае рассматриваем не дискретно, а непрерывно распределенные величины, и поэтому целесообразно ликвидировать возникшую разрывность между ними. В качестве первого шага на этом пути необходимо определить точные границы классов группировки (3-я графа). Исходя из того что величины в интервале между более высоким и более низким классами группировки распределены равномерно, каждая из точных границ классов может быть определена значением средней арифметической величины между верхней границей более низкого класса и нижней границей более высокого класса. В качестве второго шага с целью ликвидации разрывности данных следует рассчитать центральные значения классов Хг Они соответствуют средней арифметической величине между нижней и верхней границами классов и указаны в 4-й графе таблицы. Сравнивая верхнюю границу предшествующего класса группировки с нижней границей последующего класса, можно видеть, что дискретность в ряду исчезла и, следовательно, ряд величин стал непрерывным.
Таким образом, первые графы таблицы служат основанием для группировки первичных результатов. В дальнейшем будет видно, что они совершенно необходимы также для расчета ряда статистических показателей. Характер распределения первичных результатов показан в 5-й графе, а частота встречаемости (/) — в 6-й.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.5 Расчет накопленных частот и процентной суммы накопленных частот
Классы группировки
Точные границы классов
Частоты данных (0
Накопленные частоты
"сыт)
Процентная сумма накопленных частот (%)
10
54,5-59,5
1
50
1,00x100=100
9
49,5-54,5
1
49
0,98x100=98
8
44,5-49,5
3
48
0,96x100=96
7
39,5-44,5
4
45
0,90x100=90
6
34,5-39,5
6
41
0,82x100=82
5
29,5-34,5
7
35
0,70x100=70
4
24,5-29,5
' 12
28
0,56x100=56
3
19,5-24,5
6
16
0,32x100=32
2
14,5-19,5
8
10
0,20x100=20
1
9,5-14,5
2
2
0,04x100=4
В некоторых случаях результаты исследования полезно представить графически, в виде кривой так называемых накопленных частот (fcum), я также в виде процентной суммы этих частот. Чтобы показать, как это делают, обратимся снова к данным табл. 1.1.4 и воспроизведем из нее графы 3-ю и 6-ю в табл. 1.1.5. Из таблицы видно, что величины накопленных частот (4-я графа) получают путем последовательного суммирования (снизу вверх) исходного распределения частот (3-я графа). Процентную сумму накопленных частот получают, разделив значение каждой накопленной частоты на общее число данных (в нашем примере оно было равно 50) и умножив частное на 100. Необходимо при этом помнить, что процентная сумма накопленных частот в каждом классе группировки относится к верхней границе данного класса. Это означает, что ниже, например, гра-
°
12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 Центры классов (XL)
Рис. 1.1.6. Гистограмма и кривая накопленных частот первичных результатов исследования выборки (см. табл. 1.1.5).
24
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
ницы 5-го класса находится 35, или 70%, случаев всех наблюдений. Гистограмму и ход кривой накопленных частот, а также суммы накопленных частот можно представить графически (рис. 1.1.6).
На основе описанного только что метода представления первичных результатов — табличного и графического — может быть произведен расчет статистических показателей. Цель этих расчетов в том, чтобы с помощью простых показателей дать математическую оценку результатов эксперимента или наблюдения. Наиболее часто используемыми статистическими показателями распределения являются меры центральной тенденции и меры рассеивания.
Меры центральной тенденции. Среди множества мер центральной тенденции для обработки результатов психологических исследований чаще всего используют среднюю арифметическую величину (М) и медиану (Me).
В случае небольшого числа первичных результатов и отсутствия предварительной их группировки значение средней арифметической получают путем последовательного суммирования исходных величин (X) с последующим делением этой суммы на общее количество исходных данных (N):
.IX N
Если массив первичных данных был подвергнут предварительной группировке, то для вычисления средней арифметической величины проделывают следующие операции. Для каждого класса группировки определяют произведение частоты класса (/) на центр группировки класса (X.), а затем суммируют эти произведения и полученную величину делят на общее количество исходных данных АЛ'
Л1 = -
М =
T.f-x,
N
Так, для примера, приведенного в табл. 1.1.4, мы имеем: 57+52+141+
+168+222+224+324+132+136+24=1480 и
1480
50
=29,60, т. е. М=29,60.
Второй мерой центральной тенденции, особенно для порядковых величин, является медиана. Медиана — это точка на измерительной шкале, выше которой находится точно половина наблюдений и ниже которой — также точно половина наблюдений. В этом определении важно подчеркнуть, что медиана — это точка на шкале, а не отдельное измерение или наблюдение. На примере данных табл. 1.1.4 продемонстрируем этапы вычисления медианы на основе сгруппированных данных.
1. Находим половину наблюдений в массиве данных т. е. N/ 2. В нашем примере: 50:2=25,0.
2. Суммируем частоты, начиная с минимального класса группировки, до класса, содержащего половину необходимых наблюдений т. е. медиану. Для нашего примера, в котором N=50, половиной наблюдений будет 25.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Для разъяснения процедуры группировки обратимся к числовому примеру. Допустим, что приведенные ниже числа образуют так называемый массив данных, т. е. характеризуют все правильные ответы испытуемых на некоторый психологический тест:
55;
25; 33; 35; 37;
34; 29; 44;
33; 42; 15;
27; 40; 33; 39; 28;
36; 22; 51; 29; 21; '28; 29;
36; 41; 20;' 25; 38; 47; 32;
10; 16; 34; 18; 14;
15; 27; 27; 33; 46;
46; 21; 19; 26; 19; 17; 24; 21; 27; 16.
Для группировки в этом массиве данных прежде всего необходимо найти в нем максимальное (55) и минимальное (10) числа и на основе их разности определить размах распределения (55-10=45). Вполне очевидно, что для получения не менее чем 10 классов группировки, ширина класса в нашем примере должна быть не меньше 5. Далее необходимо установить границы классов группировки, причем таким образом, чтобы и максимальное (55) и минимальное (10) числа из массива данных попали в нижний и верхний классы. Для этого построим табл. 1.1.4.
Рассмотрим более подробно каждую из граф табл. 1.1.4. В 1-й графе указывают число классов группировки. Классу, содержащему минимальные величины массива первичных данных, присваивают номер 1, последующим — последующие порядковые номера до п классов. Во 2-й графе указывают, каким образом определены классы группировки. А именно; на основе числа 5 как характеристики ширины класса было образовано 10 классов группировки (10-й класс: 59, 58, 57, 56, 55; 9-й класс: 54, 53, 52, 51, 50 и т. д.).
Мы помним, что в данном случае рассматриваем не дискретно, а непрерывно распределенные величины, и поэтому целесообразно ликвидировать возникшую разрывность между ними. В качестве первого шага на этом пути необходимо определить точные границы классов группировки (3-я графа). Исходя из того что величины в интервале между более высоким и более низким классами группировки распределены равномерно, каждая из точных границ классов может быть определена значением средней арифметической величины между верхней границей более низкого класса и нижней границей более высокого класса. В качестве второго шага с целью ликвидации разрывности данных следует рассчитать центральные значения классов Хг Они соответствуют средней арифметической величине между нижней и верхней границами классов и указаны в 4-й графе таблицы. Сравнивая верхнюю границу предшествующего класса группировки с нижней границей последующего класса, можно видеть, что дискретность в ряду исчезла и, следовательно, ряд величин стал непрерывным.
Таким образом, первые графы таблицы служат основанием для группировки первичных результатов. В дальнейшем будет видно, что они совершенно необходимы также для расчета ряда статистических показателей. Характер распределения первичных результатов показан в 5-й графе, а частота встречаемости (/) — в 6-й.
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
Таблица 1.1.5 Расчет накопленных частот и процентной суммы накопленных частот
Классы группировки
Точные границы классов
Частоты данных (0
Накопленные частоты
"сыт)
Процентная сумма накопленных частот (%)
10
54,5-59,5
1
50
1,00x100=100
9
49,5-54,5
1
49
0,98x100=98
8
44,5-49,5
3
48
0,96x100=96
7
39,5-44,5
4
45
0,90x100=90
6
34,5-39,5
6
41
0,82x100=82
5
29,5-34,5
7
35
0,70x100=70
4
24,5-29,5
' 12
28
0,56x100=56
3
19,5-24,5
6
16
0,32x100=32
2
14,5-19,5
8
10
0,20x100=20
1
9,5-14,5
2
2
0,04x100=4
В некоторых случаях результаты исследования полезно представить графически, в виде кривой так называемых накопленных частот (fcum), я также в виде процентной суммы этих частот. Чтобы показать, как это делают, обратимся снова к данным табл. 1.1.4 и воспроизведем из нее графы 3-ю и 6-ю в табл. 1.1.5. Из таблицы видно, что величины накопленных частот (4-я графа) получают путем последовательного суммирования (снизу вверх) исходного распределения частот (3-я графа). Процентную сумму накопленных частот получают, разделив значение каждой накопленной частоты на общее число данных (в нашем примере оно было равно 50) и умножив частное на 100. Необходимо при этом помнить, что процентная сумма накопленных частот в каждом классе группировки относится к верхней границе данного класса. Это означает, что ниже, например, гра-
°
12 17 22 27 32 37 42 47 52 57 Центры классов (XL)
Рис. 1.1.6. Гистограмма и кривая накопленных частот первичных результатов исследования выборки (см. табл. 1.1.5).
24
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
ницы 5-го класса находится 35, или 70%, случаев всех наблюдений. Гистограмму и ход кривой накопленных частот, а также суммы накопленных частот можно представить графически (рис. 1.1.6).
На основе описанного только что метода представления первичных результатов — табличного и графического — может быть произведен расчет статистических показателей. Цель этих расчетов в том, чтобы с помощью простых показателей дать математическую оценку результатов эксперимента или наблюдения. Наиболее часто используемыми статистическими показателями распределения являются меры центральной тенденции и меры рассеивания.
Меры центральной тенденции. Среди множества мер центральной тенденции для обработки результатов психологических исследований чаще всего используют среднюю арифметическую величину (М) и медиану (Me).
В случае небольшого числа первичных результатов и отсутствия предварительной их группировки значение средней арифметической получают путем последовательного суммирования исходных величин (X) с последующим делением этой суммы на общее количество исходных данных (N):
.IX N
Если массив первичных данных был подвергнут предварительной группировке, то для вычисления средней арифметической величины проделывают следующие операции. Для каждого класса группировки определяют произведение частоты класса (/) на центр группировки класса (X.), а затем суммируют эти произведения и полученную величину делят на общее количество исходных данных АЛ'
Л1 = -
М =
T.f-x,
N
Так, для примера, приведенного в табл. 1.1.4, мы имеем: 57+52+141+
+168+222+224+324+132+136+24=1480 и
1480
50
=29,60, т. е. М=29,60.
Второй мерой центральной тенденции, особенно для порядковых величин, является медиана. Медиана — это точка на измерительной шкале, выше которой находится точно половина наблюдений и ниже которой — также точно половина наблюдений. В этом определении важно подчеркнуть, что медиана — это точка на шкале, а не отдельное измерение или наблюдение. На примере данных табл. 1.1.4 продемонстрируем этапы вычисления медианы на основе сгруппированных данных.
1. Находим половину наблюдений в массиве данных т. е. N/ 2. В нашем примере: 50:2=25,0.
2. Суммируем частоты, начиная с минимального класса группировки, до класса, содержащего половину необходимых наблюдений т. е. медиану. Для нашего примера, в котором N=50, половиной наблюдений будет 25.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170