Итак, по данным табл. 1.1.4 это: 2+8+6+12=28. Отсюда очевидно, что
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...________________ДД
медиана предположительно расположена в 4-м классе группировки, точные границы которого 24,5 и 29,5.
3. Определяем, сколько же наблюдений из класса, содержащего медиану, необходимо для того, чтобы найти ее. Поскольку сумма накопленных частот из предыдущих трех классов равна 16 (см. табл. 1.1.5), то ясно, что из медианного класса необходимо еще 9 наблюдений, а именно 25-16=9.
4. Вычисляем ту долю интервала на шкале, которая позволит определить точное положение медианы. Если в медианном классе имеем 12 наблюдений и наблюдения в пределах класса распределены равномерно, то при ширине класса, равной 5 единицам, получаем: 9/12x5=3,75.
5. Прибавляем полученный результат к нижней точной границе класса группировки, содержащего медиану: 24,5+3,75=28,25. Это и есть ее значение: Afe=28,25. Существует аналитическая формула для интерполяции медианы:
IW-R
h
где / — нижняя точная граница класса группировки содержащего медиану; Рь — сумма частот классов1 ниже /; / — сумма частот класса, содержащего медиану; N — число наблюдении или измерений; i — ширина класса группировки.
Как видно из нашего примера, когда распределение первичных результатов наблюдений или измерений отличается от нормального, то величины средней арифметической и медианы не совпадают: 29,60*28,25.
Меры изменчивости. В качестве мер изменчивости результатов, характеризующих степень рассеивания отдельных величин вокруг средней арифметической, используются разные меры в зависимости от примененных шкал измерения. Для характеристики рассеивания величин интервальных шкал и шкал отношений пользуются значением среднеквадратичного отклонения (а). Для величин порядковых шкал используют значения полуквар-тильных отклонений (Q, и Q3).
При несгруппированных данных произведем расчет так называемого стандартного отклонения, обозначаемого S. Понятие стандартного отклонения (S) на практике чаще всего используется как синоним среднего квадратичного отклонения (а). Расчет делается следующим образом:
1. Рассчитаем среднюю арифметическую величину (М).
2. Находим отклонение (х) каждого результата измерения (X) от средней арифметической величины: х=Х-М.
3. Возводим найденное значение отклонения каждого результата от среднего в квадрат: я2.
4. Суммируем значения квадратов отклонений всех результатов: Ех2.
' Величина Fb в данной формуле соответствует по своему смыслу величине накопленных частот (/ ), расчет которой был продемонстрирован выше.
26
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
5. Делим сумму квадратов отклонений на общее число наблюдений (ЛО и получаем величину, называемую дисперсией (D):
I*2
?> = -
N
6. Извлекаем корень квадратный из дисперсии и получаем величину, называемую стандартным отклонением (S), или среднеквадратичное отклонение (от):
или с =
Таблица 1.1.6 Расчет дисперсии (О) и стандартного отклонения (5) (при N=10)
X
X
х2
13
0,2
0,04
17
-3,8
14,44
15
-1,8
3,24
11
2-2
4,84
13
0,2
0,04
11
2,2
4,84
17
-3,8
14,44
13
0,2
0,04
11
2,2
4,84
11
2,2
4,84
1х2=51,60
„ , _ 51,60 Таким образом: ?> = ——— = 5,16 и
Приведем все описанные расчеты для конкретного примера и определим дисперсию и стандартное отклонение для выборки, состоящей из результатов 10 измерений: 13; 17; 15; 11; 13; 11; 17; 13; 11; 11. Для начала рассчитаем среднюю арифметическую величину: она оказывается равна 13,2. Для облегчения дальнейших расчетов составляем табл. 1 . 1 .6. В 1-й графе таблицы записываем первичные данные (X), во 2-й — отклонения их значений от средней арифметической (х) и в 3-й — квадраты отклонений (х2).
При сгруппированных данных формула расчета дисперсии приобретает следующий вид:
N
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________27
где /— частота каждого из классов группировки; Xt — центр каждого из классов группировки; М — средняя арифметическая величина, а N — число измерений.
Различают два полуквартильных отклонения — для левой и правой сторон распределения экспериментальных данных. Каждое из полуквартильных отклонений представляет собой величину, соответствующую половине области распределения центральных 50% данных на шкале измерений. Очевидно, что любое распределение экспериментальных данных может быть разделено на четыре равные части, каждая из которых охватывает 25% наблюдений. Если отсчитывать наблюдения, начиная от минимальной величины на измерительной шкале, то точка С?,, отделяющая первые 25% наблюдений от остальных, определит границу первого квартиля. Та же самая процедура счета, производимая от максимальной величины, отделяет последний, т. е. четвертый, квартиль; сама же точка на шкале обозначается как Q3. Наконец медиана, согласно ее определению, позволяет идентифицировать второй и третий квартили: точка их разделения на шкале и соответствует медиане. Она получила обозначение Qr Половина же интервала на измерительной шкале, заключенного между точками Q, и Qy и есть полуквартильные отклонения. Только в случае нормального, т. е. симметричного, распределения данных точка Q2 совпадает с местоположением медианы. Следовательно, с помощью полуквартильных отклонений можно определять рассеивание экспериментальных данных вокруг медианы.
Обратимся снова к табл. 1.1.4 и расчету мер центральной тенденции. Ранее для приведенных там данных мы рассчитали, что Me = 28,25, и таким образом определили точку Q2. Теперь нам предстоит найти точки Q, и Q3. В случае нормального, т. е. строго симметричного, распределения данных точки <Э,и Q3 можно рассматривать в качестве медиан: Q, — для левого интервала (от начала шкалы измерений до точки Q2), a Q3 — для правого интервала (от конца шкалы до той же точки Q2). Поэтому дальнейшие процедуры расчетов значений Ql и Q3 будут аналогичны той, которую мы рассматривали при вычислении медианы. То есть мы имели право воспользоваться приведенной выше аналитической формулой для интерполяции медианы, а именно
г.
<р
1. Прежде всего укажем, что значение i — ширины класса группировки — нам известно, из задания: 1=5 (как для левого интервала, так и для правого).
2. Что касается N — числа измерений, то согласно определению медианы вообще, а в нашем случае точки Q3 в частности, оно должно быть одинаковым в обоих рассматриваемых интервалах: Na=Nnf=25 при общем числе измерений, равном 50. Отсюда
28
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
3. Анализируя группировку данных, приведенную в табл. 1 . 1 .4, нетрудно заметить, что классом группировки, предположительно содержащим половину наблюдений левого интервала, является 3-й класс, а таким же классом для правого интервала — 6-й класс. Исходя из этого, по табл. 1.1.4 легко определить, что для левого интервала /=19,5; Fb~lO; /р=6; для правого интервала /=39,5; F=§; ff=6.
4. Пользуясь найденными значениями величин, производим необходимые расчеты медиан обоих интервалов:
для левого
для правого 6 12,9-9
•5 = 36,58.
5. Согласно определению квартального отклонения следует, что
_ 36.58-21,58 __ т. е. в нашем примере Q=———~—— = 7,Ь.
6. Однако этот результат получен нами для нормального распределения данных. На самом же деле, как показывает табл. 1.1.4, в нашем примере мы имеем дело с явно асимметричным распределением.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...________________ДД
медиана предположительно расположена в 4-м классе группировки, точные границы которого 24,5 и 29,5.
3. Определяем, сколько же наблюдений из класса, содержащего медиану, необходимо для того, чтобы найти ее. Поскольку сумма накопленных частот из предыдущих трех классов равна 16 (см. табл. 1.1.5), то ясно, что из медианного класса необходимо еще 9 наблюдений, а именно 25-16=9.
4. Вычисляем ту долю интервала на шкале, которая позволит определить точное положение медианы. Если в медианном классе имеем 12 наблюдений и наблюдения в пределах класса распределены равномерно, то при ширине класса, равной 5 единицам, получаем: 9/12x5=3,75.
5. Прибавляем полученный результат к нижней точной границе класса группировки, содержащего медиану: 24,5+3,75=28,25. Это и есть ее значение: Afe=28,25. Существует аналитическая формула для интерполяции медианы:
IW-R
h
где / — нижняя точная граница класса группировки содержащего медиану; Рь — сумма частот классов1 ниже /; / — сумма частот класса, содержащего медиану; N — число наблюдении или измерений; i — ширина класса группировки.
Как видно из нашего примера, когда распределение первичных результатов наблюдений или измерений отличается от нормального, то величины средней арифметической и медианы не совпадают: 29,60*28,25.
Меры изменчивости. В качестве мер изменчивости результатов, характеризующих степень рассеивания отдельных величин вокруг средней арифметической, используются разные меры в зависимости от примененных шкал измерения. Для характеристики рассеивания величин интервальных шкал и шкал отношений пользуются значением среднеквадратичного отклонения (а). Для величин порядковых шкал используют значения полуквар-тильных отклонений (Q, и Q3).
При несгруппированных данных произведем расчет так называемого стандартного отклонения, обозначаемого S. Понятие стандартного отклонения (S) на практике чаще всего используется как синоним среднего квадратичного отклонения (а). Расчет делается следующим образом:
1. Рассчитаем среднюю арифметическую величину (М).
2. Находим отклонение (х) каждого результата измерения (X) от средней арифметической величины: х=Х-М.
3. Возводим найденное значение отклонения каждого результата от среднего в квадрат: я2.
4. Суммируем значения квадратов отклонений всех результатов: Ех2.
' Величина Fb в данной формуле соответствует по своему смыслу величине накопленных частот (/ ), расчет которой был продемонстрирован выше.
26
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
5. Делим сумму квадратов отклонений на общее число наблюдений (ЛО и получаем величину, называемую дисперсией (D):
I*2
?> = -
N
6. Извлекаем корень квадратный из дисперсии и получаем величину, называемую стандартным отклонением (S), или среднеквадратичное отклонение (от):
или с =
Таблица 1.1.6 Расчет дисперсии (О) и стандартного отклонения (5) (при N=10)
X
X
х2
13
0,2
0,04
17
-3,8
14,44
15
-1,8
3,24
11
2-2
4,84
13
0,2
0,04
11
2,2
4,84
17
-3,8
14,44
13
0,2
0,04
11
2,2
4,84
11
2,2
4,84
1х2=51,60
„ , _ 51,60 Таким образом: ?> = ——— = 5,16 и
Приведем все описанные расчеты для конкретного примера и определим дисперсию и стандартное отклонение для выборки, состоящей из результатов 10 измерений: 13; 17; 15; 11; 13; 11; 17; 13; 11; 11. Для начала рассчитаем среднюю арифметическую величину: она оказывается равна 13,2. Для облегчения дальнейших расчетов составляем табл. 1 . 1 .6. В 1-й графе таблицы записываем первичные данные (X), во 2-й — отклонения их значений от средней арифметической (х) и в 3-й — квадраты отклонений (х2).
При сгруппированных данных формула расчета дисперсии приобретает следующий вид:
N
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...___________27
где /— частота каждого из классов группировки; Xt — центр каждого из классов группировки; М — средняя арифметическая величина, а N — число измерений.
Различают два полуквартильных отклонения — для левой и правой сторон распределения экспериментальных данных. Каждое из полуквартильных отклонений представляет собой величину, соответствующую половине области распределения центральных 50% данных на шкале измерений. Очевидно, что любое распределение экспериментальных данных может быть разделено на четыре равные части, каждая из которых охватывает 25% наблюдений. Если отсчитывать наблюдения, начиная от минимальной величины на измерительной шкале, то точка С?,, отделяющая первые 25% наблюдений от остальных, определит границу первого квартиля. Та же самая процедура счета, производимая от максимальной величины, отделяет последний, т. е. четвертый, квартиль; сама же точка на шкале обозначается как Q3. Наконец медиана, согласно ее определению, позволяет идентифицировать второй и третий квартили: точка их разделения на шкале и соответствует медиане. Она получила обозначение Qr Половина же интервала на измерительной шкале, заключенного между точками Q, и Qy и есть полуквартильные отклонения. Только в случае нормального, т. е. симметричного, распределения данных точка Q2 совпадает с местоположением медианы. Следовательно, с помощью полуквартильных отклонений можно определять рассеивание экспериментальных данных вокруг медианы.
Обратимся снова к табл. 1.1.4 и расчету мер центральной тенденции. Ранее для приведенных там данных мы рассчитали, что Me = 28,25, и таким образом определили точку Q2. Теперь нам предстоит найти точки Q, и Q3. В случае нормального, т. е. строго симметричного, распределения данных точки <Э,и Q3 можно рассматривать в качестве медиан: Q, — для левого интервала (от начала шкалы измерений до точки Q2), a Q3 — для правого интервала (от конца шкалы до той же точки Q2). Поэтому дальнейшие процедуры расчетов значений Ql и Q3 будут аналогичны той, которую мы рассматривали при вычислении медианы. То есть мы имели право воспользоваться приведенной выше аналитической формулой для интерполяции медианы, а именно
г.
<р
1. Прежде всего укажем, что значение i — ширины класса группировки — нам известно, из задания: 1=5 (как для левого интервала, так и для правого).
2. Что касается N — числа измерений, то согласно определению медианы вообще, а в нашем случае точки Q3 в частности, оно должно быть одинаковым в обоих рассматриваемых интервалах: Na=Nnf=25 при общем числе измерений, равном 50. Отсюда
28
I. Приемы измерений и статистические способы обработки...
3. Анализируя группировку данных, приведенную в табл. 1 . 1 .4, нетрудно заметить, что классом группировки, предположительно содержащим половину наблюдений левого интервала, является 3-й класс, а таким же классом для правого интервала — 6-й класс. Исходя из этого, по табл. 1.1.4 легко определить, что для левого интервала /=19,5; Fb~lO; /р=6; для правого интервала /=39,5; F=§; ff=6.
4. Пользуясь найденными значениями величин, производим необходимые расчеты медиан обоих интервалов:
для левого
для правого 6 12,9-9
•5 = 36,58.
5. Согласно определению квартального отклонения следует, что
_ 36.58-21,58 __ т. е. в нашем примере Q=———~—— = 7,Ь.
6. Однако этот результат получен нами для нормального распределения данных. На самом же деле, как показывает табл. 1.1.4, в нашем примере мы имеем дело с явно асимметричным распределением.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170