0-49
30-39
//
fM 1
Wtm
mm Mill
-wwt mm w
-Mtwt wt i
mwt ii
м-ill
ill
ст) (70) 0 0(7)0(7) -смгпгюиэоос" ill i Ull 000000000
i
0 0
in иэ
О
t
О
со
О
01
101
НАДЕЖНОСТЬ
ся в виде числа секунд, ушедших на решение всех примеров, тогда как
показателем теста на арифметическое мышление служит число правиль-
но решенных задач, то следует ожидать появления отрицательной корре-
ляции. В этом случае наименее успевающий (работающий медленнее
всех) индивид получит численно самый высокий результат по первому
тесту, в то время как по второму тесту самый высокий результат будет
у наиболее успевающего индивида.
Коэффициенты корреляции можно вычислять в зависимости от при-
роды данных разными способами. Наиболее распространен введенный
К. Пирсоном коэффициент корреляции произведения моментов. Этот
коэффициент учитывает не только положение результатов индивида
в группе, но и степень их отклонения от группового среднего значения.
Напомним, что когда положение каждого индивида выражается в терми-
нах стандартного показателя (z), то выше среднего располагаются поло-
жительные z, а ниже среднего-отрицательные. Следовательно, для инди-
вида, чьи результаты выше среднего в обоих вариантах, коррелируются
два положительных стандартных показателя, а тот, чей результат в обо-
их случаях ниже среднего, имеет два отрицательных z. Если теперь пере-
множить стандартные показатели по обеим переменным каждого из
двух индивидов, то оба произведения будут положительны. Пирсонов-
ский коэффициент корреляции есть среднее арифметическое всех таких
произведений. Его числовое значение бывает высоким и положительным,
если соответствующие стандартные показатели имеют по обеим пере-
менным одинаковые знаки и приблизительно равную величину. Когда
показатели испытуемых выше среднего по одной переменной, но ниже
среднего по другой, то со-
ответствующие произведе-
ния отрицательны. Если
сумма произведений отри-
цательна, то отрицатель-
ной будет и корреляция.
Когда же одни произведе-
ния отрицательны, а дру-
гие положительны, корре-
ляция близка к нулю.
При проведении рас-
четов нет необходимости
переводить каждый пер-
вичный показатель в стан-
дартный, так как это пре-
образование может быть
выполнено один раз уже
после суммирования всех
попарных произведений.
При расчете пирсоновско-
го коэффициента корреля-
ции можно пользоваться
различными приемами,
сокращающими объем вы-
числений. Метод, приме-
TTITTITT rtl Tt rrnhTT 7 T?Л ff\X~t_1TX
Таблица 7
Вычисление коэффициента корреляции произведения мо-
ментов Пирсона
Арифме-1
УчениктикиЧтениеуX.i\т
У1
Билл41171-4116-4
Карол3828-27449-14
Джефри4822816418
Энн3216-8-5642540
Боб3418-6-336918
Джейн3615-4-6163624
Эллен4124i3193
Рут43203-191-3
Дик47237249414
Мари4027060360
?4002100024418686
М4021
144 ет -= /-- " \1 10- = l/24,4 == 4,94;",-TM 10-1/18,6 =
= 4,31;
"Lxy8686f\ Л
"" Nc, (10) (4,94) (4,31)212,9
102 ПРИНЦИПЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ТЕСТИРОВАНИЯ
раскрывает природу коэффициента корреляции. В табл. 7 приведе-
но вычисление r для результатов 10 детей по арифметическому тесту
и тесту чтения. Справа от имени ученика приведены его результаты по
первому (X) и второму (У) тесту. Суммы и средние значения 10 показате-
лей приведены под колонками. Далее следует колонка отклонений (х) по-
казателя арифметического теста от среднего значения и такая же колон-
ка для теста чтения (у). Квадраты этих отклонений даны в следующих
двух колонках, а суммы квадратов использованы для вычисления мето-
дом стандартных отклонений результатов обоих тестов, описанным
в гл. 4. Вместо того чтобы каждое х и у делить на соответствующее
о для определения стандартного показателя z, это деление выполняется
один раз, в конце, так, как показано в формуле вычисления коэффициен-
та корреляции, приведенной в нижней части таблицы. Попарные про-
изведения, стоящие в последней колонке, есть результат умножения со-
ответствующих отклонений х и у. Чтобы получить коэффициент r, сумма
этих произведений делится на число случаев (N) и на произведение обоих
стандартных отклонений (а,ст").
Статистическая значимость. Корреляция 0,40, найденная
в табл. 7, означает среднюю степень положительной связи между показа-
телями арифметического теста и теста чтения. Можно отметить некото-
рую тенденцию, выражающуюся в том, что ученик, хорошо показавший
себя в арифметическом тесте, скорее всего, неплохо справится и с те-
стом чтения. Если нас интересуют только эти 10 детей, то мы можем
принять полученный коэффициент корреляции в качестве адекватной ха-
рактеристики степени связи, существующей между двумя переменными
в данной группе. В психологических исследованиях, однако, обычно стре-
мятся распространить полученные результаты за пределы конкретной
выборки испытуемых, на популяцию, которую эта выборка представляет.
Например, нас может интересовать вопрос, существует ли связь между
арифметическими способностями и навыками чтения у американских
школьников того же возраста, что и наши испытуемые. Конечно, 10 ис-
следованных случаев-совершенно недостаточная выборка для такой по-
пуляции, ибо в другой сравнимой выборке с тем же числом случаев мож-
но получить как более низкую, так и более высокую корреляцию.
Существуют статистические процедуры оценки возможных колеба-
ний от одной выборки к другой коэффициентов корреляции, средних
значений, стандартных отклонений и любых других групповых единиц
измерения. Вопрос, чаще всего задаваемый по поводу коэффициента кор-
реляции: отличается ли он значимо от нуля? Иными словами, если в по-
пуляции этот коэффициент равен нулю, то могла бы полученная в вы-
борке корреляция быть следствием только выборочной ошибки? Когда
говорят, что корреляция значима <на 1Їо-ном уровне> или <на уровне
0,01>, то имеют в виду следующее: существует не более одного шанса из
ста, что в популяции данный коэффициент равен нулю. Из этого следует,
что обе переменные действительно коррелированы. Уровни значимости
указывают риск ошибки, на который мы вынуждены пойти, делая вы-
воды из полученных данных. Если корреляция значима на уровне 0,05, то
вероятность ошибки составляет 5 из 100. В большинстве психологиче-
ских исследований применяются уровни 0,01 и 0,05, хотя по некоторым
-опРшяжениям можно пользоваться и другими уровнями значимости.
103
НАДЕЖНОСТЬ
наличии 10 случаев трудно выявить общие закономерности. Для выбор-
ки такого размера самая малая корреляция, значимая на уровне 0,05,
равна 0,63. Любая корреляция ниже этой величины оставляет без ответа
вопрос о коррелированности двух переменных в популяции, из которой
была извлечена выборка.
Минимальные значения коэффициентов корреляции на уровнях 0,01
и 0,05 для групп разной численности можно найти в таблицах значимо-
сти корреляции, приводимых в учебниках по статистике. Для понимания
проблематики этой книги требуется лишь общее представление об ос-
новных вопросах. Добавим только, что уровни значимости ицтерпрети-
руются подобным же образом и применительно к другим статистиче-
ским мерам. Например, если различие между двумя средними значимо
на уровне 0,01, то отсюда можно сделать вывод (причем вероятность
ошибиться равняется одному шансу из 100), что тестирование всей попу-
ляции, из которой были взяты выборки, дает приблизительно ту же раз-
ницу.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132
30-39
//
fM 1
Wtm
mm Mill
-wwt mm w
-Mtwt wt i
mwt ii
м-ill
ill
ст) (70) 0 0(7)0(7) -смгпгюиэоос" ill i Ull 000000000
i
0 0
in иэ
О
t
О
со
О
01
101
НАДЕЖНОСТЬ
ся в виде числа секунд, ушедших на решение всех примеров, тогда как
показателем теста на арифметическое мышление служит число правиль-
но решенных задач, то следует ожидать появления отрицательной корре-
ляции. В этом случае наименее успевающий (работающий медленнее
всех) индивид получит численно самый высокий результат по первому
тесту, в то время как по второму тесту самый высокий результат будет
у наиболее успевающего индивида.
Коэффициенты корреляции можно вычислять в зависимости от при-
роды данных разными способами. Наиболее распространен введенный
К. Пирсоном коэффициент корреляции произведения моментов. Этот
коэффициент учитывает не только положение результатов индивида
в группе, но и степень их отклонения от группового среднего значения.
Напомним, что когда положение каждого индивида выражается в терми-
нах стандартного показателя (z), то выше среднего располагаются поло-
жительные z, а ниже среднего-отрицательные. Следовательно, для инди-
вида, чьи результаты выше среднего в обоих вариантах, коррелируются
два положительных стандартных показателя, а тот, чей результат в обо-
их случаях ниже среднего, имеет два отрицательных z. Если теперь пере-
множить стандартные показатели по обеим переменным каждого из
двух индивидов, то оба произведения будут положительны. Пирсонов-
ский коэффициент корреляции есть среднее арифметическое всех таких
произведений. Его числовое значение бывает высоким и положительным,
если соответствующие стандартные показатели имеют по обеим пере-
менным одинаковые знаки и приблизительно равную величину. Когда
показатели испытуемых выше среднего по одной переменной, но ниже
среднего по другой, то со-
ответствующие произведе-
ния отрицательны. Если
сумма произведений отри-
цательна, то отрицатель-
ной будет и корреляция.
Когда же одни произведе-
ния отрицательны, а дру-
гие положительны, корре-
ляция близка к нулю.
При проведении рас-
четов нет необходимости
переводить каждый пер-
вичный показатель в стан-
дартный, так как это пре-
образование может быть
выполнено один раз уже
после суммирования всех
попарных произведений.
При расчете пирсоновско-
го коэффициента корреля-
ции можно пользоваться
различными приемами,
сокращающими объем вы-
числений. Метод, приме-
TTITTITT rtl Tt rrnhTT 7 T?Л ff\X~t_1TX
Таблица 7
Вычисление коэффициента корреляции произведения мо-
ментов Пирсона
Арифме-1
УчениктикиЧтениеуX.i\т
У1
Билл41171-4116-4
Карол3828-27449-14
Джефри4822816418
Энн3216-8-5642540
Боб3418-6-336918
Джейн3615-4-6163624
Эллен4124i3193
Рут43203-191-3
Дик47237249414
Мари4027060360
?4002100024418686
М4021
144 ет -= /-- " \1 10- = l/24,4 == 4,94;",-TM 10-1/18,6 =
= 4,31;
"Lxy8686f\ Л
"" Nc, (10) (4,94) (4,31)212,9
102 ПРИНЦИПЫ ПСИХОЛОГИЧЕСКОГО ТЕСТИРОВАНИЯ
раскрывает природу коэффициента корреляции. В табл. 7 приведе-
но вычисление r для результатов 10 детей по арифметическому тесту
и тесту чтения. Справа от имени ученика приведены его результаты по
первому (X) и второму (У) тесту. Суммы и средние значения 10 показате-
лей приведены под колонками. Далее следует колонка отклонений (х) по-
казателя арифметического теста от среднего значения и такая же колон-
ка для теста чтения (у). Квадраты этих отклонений даны в следующих
двух колонках, а суммы квадратов использованы для вычисления мето-
дом стандартных отклонений результатов обоих тестов, описанным
в гл. 4. Вместо того чтобы каждое х и у делить на соответствующее
о для определения стандартного показателя z, это деление выполняется
один раз, в конце, так, как показано в формуле вычисления коэффициен-
та корреляции, приведенной в нижней части таблицы. Попарные про-
изведения, стоящие в последней колонке, есть результат умножения со-
ответствующих отклонений х и у. Чтобы получить коэффициент r, сумма
этих произведений делится на число случаев (N) и на произведение обоих
стандартных отклонений (а,ст").
Статистическая значимость. Корреляция 0,40, найденная
в табл. 7, означает среднюю степень положительной связи между показа-
телями арифметического теста и теста чтения. Можно отметить некото-
рую тенденцию, выражающуюся в том, что ученик, хорошо показавший
себя в арифметическом тесте, скорее всего, неплохо справится и с те-
стом чтения. Если нас интересуют только эти 10 детей, то мы можем
принять полученный коэффициент корреляции в качестве адекватной ха-
рактеристики степени связи, существующей между двумя переменными
в данной группе. В психологических исследованиях, однако, обычно стре-
мятся распространить полученные результаты за пределы конкретной
выборки испытуемых, на популяцию, которую эта выборка представляет.
Например, нас может интересовать вопрос, существует ли связь между
арифметическими способностями и навыками чтения у американских
школьников того же возраста, что и наши испытуемые. Конечно, 10 ис-
следованных случаев-совершенно недостаточная выборка для такой по-
пуляции, ибо в другой сравнимой выборке с тем же числом случаев мож-
но получить как более низкую, так и более высокую корреляцию.
Существуют статистические процедуры оценки возможных колеба-
ний от одной выборки к другой коэффициентов корреляции, средних
значений, стандартных отклонений и любых других групповых единиц
измерения. Вопрос, чаще всего задаваемый по поводу коэффициента кор-
реляции: отличается ли он значимо от нуля? Иными словами, если в по-
пуляции этот коэффициент равен нулю, то могла бы полученная в вы-
борке корреляция быть следствием только выборочной ошибки? Когда
говорят, что корреляция значима <на 1Їо-ном уровне> или <на уровне
0,01>, то имеют в виду следующее: существует не более одного шанса из
ста, что в популяции данный коэффициент равен нулю. Из этого следует,
что обе переменные действительно коррелированы. Уровни значимости
указывают риск ошибки, на который мы вынуждены пойти, делая вы-
воды из полученных данных. Если корреляция значима на уровне 0,05, то
вероятность ошибки составляет 5 из 100. В большинстве психологиче-
ских исследований применяются уровни 0,01 и 0,05, хотя по некоторым
-опРшяжениям можно пользоваться и другими уровнями значимости.
103
НАДЕЖНОСТЬ
наличии 10 случаев трудно выявить общие закономерности. Для выбор-
ки такого размера самая малая корреляция, значимая на уровне 0,05,
равна 0,63. Любая корреляция ниже этой величины оставляет без ответа
вопрос о коррелированности двух переменных в популяции, из которой
была извлечена выборка.
Минимальные значения коэффициентов корреляции на уровнях 0,01
и 0,05 для групп разной численности можно найти в таблицах значимо-
сти корреляции, приводимых в учебниках по статистике. Для понимания
проблематики этой книги требуется лишь общее представление об ос-
новных вопросах. Добавим только, что уровни значимости ицтерпрети-
руются подобным же образом и применительно к другим статистиче-
ским мерам. Например, если различие между двумя средними значимо
на уровне 0,01, то отсюда можно сделать вывод (причем вероятность
ошибиться равняется одному шансу из 100), что тестирование всей попу-
ляции, из которой были взяты выборки, дает приблизительно ту же раз-
ницу.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132