Наиболее простым и наглядным способом представления разброса данных является
размах распределения, т. е. разность между самым высоким и самым низким
результатами. Однако эта М. и. неточна и неустойчива, поскольку характеризует только
два показателя в выборке независимо от объема последней. Случайный, необычно низкий
или высокий результат может заметно повлиять на величину размаха. Более точная М. и.
основана на учете разности между каждым индивидуальным результатом и средним
значением по группе. Таким показателем является среднее абсолютное (линейное, ариф-
метическое) отклонение(d ):
2k- -A
d=
1=1
где x.i-х, означает, что суммируются значения отклонений от ~х без учета знака, п - объем
совокупности
Недостаток показателя d заключается в том, что он не учитывает знак отклонения, поэтому
гораздо более информативными М.и. являются дисперсия и среднеквадратическое
отклонение.
Дисперсия представляет собой среднюю квадрата отклонений индивидуальных значений
признака от их средней величины и обозначается ет2:
z-l) сг = -----
где I.x-xY-сумма квадратов разностей между средним и индивидуальным значением
признака; п - количество вариантов.
Расчет дисперсии применяют для выделения выборочной совокупности, опре-
174
деления ошибки выборки, однородности изучаемой совокупности по тому или иному
признаку. Он лежит в основе факторного анализа, дисперсионного анализа и ряда других
статистических методов. Применение дисперсии как М. и. не всегда удобно, так как
размерность дисперсии равна квадрату размерности изучаемого признака. Поэтому для
измерения вариации вычисляется среднее квадра-тическое отклонение от, равное корню
квадратному из суммы квадратов отклонений индивидуальных значений признака от
среднего, т. е. дисперсии:
-\2
0=1
Следует заметить, что более точной характеристикой дисперсии является ве-
E(-i)2 , личина ----. Такая поправка необ-
л-1 ходима при небольших статистических
выборках.
Величина квадратного корня из дисперсии носит также название стандартного отклонения
(a, S). Стандартное отклонение является общеупотребимой мерой вариации, так как для
многих распределений, приближающихся к нормальному, мы приблизительно знаем, какой
процент данных лежит внутри одного, двух, трех и более стандартных отклонений от
среднего.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение как меры вариации признака имеют
некоторые недостатки. Они недостаточно точно характеризуют изменчивость признака, т. к.
отражают абсолютный размер отклонений. Это неудобно при сопоставлении
распределений с различной размерностью и значением признаков. Для устранения этого
недостатка абсолютные числа переводятся в относительные. Отношение квадратического
отклонения к средней, выраженное в про-
МЕР
центах, называется коэффициентом вариации V:
-1ЛП
2. Взвешенная средняя арифметическая
V=
orlOO
Отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической, выраженное в
процентах, называется линейным коэффициентом вариации:
,>.
Отношение размаха вариации (Д) к средней арифметической, выраженное в процентах,
называется коэффициентом асцилляции:
-Т-
МЕРЫ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ - характеристики совокупности переменных
(признаков), указывающие на наиболее типичный, репрезентативный для изучаемой
выборки результат. Если предположить, что множество результатов исследования
расположено на числовой прямой, то центральная тенденция будет проявляться в
ориентации, группировании результатов относительно определенного участка этой прямой.
М. ц. т. являются наиболее широко применяемыми статистическими показателями, ис-
пользуемыми не только для характеристики количественных признаков, выраженных в
интервальных шкалах, но и для анализа качественных признаков в порядковых шкалах
путем приписывания им количественных индексов. Наиболее распространенными М. ц. т.
являются средние величины:
1. Простая средняя арифметическая
- _ -У;) + х,у + л,3 + + л:;д
п
е л:,)... х - значения переменной, п - число наблюдений.
х =
х + х + ХуГ ++ х, г\+гц+---+п"
т. е. взвешенная х, равна отношению суммы произведений каждого значения переменной
на ее удельный вес к сумме весов. При расчете взвешенной ~х интервального ряда за
исходные варианты принимаются середины интервала, определяемые как простые ~х
крайних значений каждого интервала.
3. Средняя геометрическая
0=,...
4. Средняя гармоническая
у-".
//=-
где х, - значения переменной, га; - частоты встречаемости признака.
5. Средняя квадратическая (S) в
определенной степени отражает меру изменчивости признака и определяется по формуле:

Средняя квадратическая используется при вычислении среднего квадратического
отклонения.
Другими распространенными М. ц. т. являются мода и медиана.
Мода (Мо) - значение, наиболее часто встречающееся в ряду переменных. Для случаев,
когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, считается, что распределение
не имеет моды. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и эта частота
больше частот других значений, мода является сред-
47<
MET
ним этих двух значений. В случае, если два несмежных значения имеют равные частоты и
они превышают частоты других значений, существуют две моды.
В психологической диагностике определение Мо используют для выяснения наиболее
часто встречающихся значений признаков, расположенных в интервальных шкалах. С этой
целью определяется модальный интервал, в пределах которого находится Мо, а затем -
приближенное значение модальной величины признака по формуле:
Mo=x"+h
т 1т-\
{fm ~ 1т-1) + \fm ~ /m+1 /
где XQ - нижняя граница модального интервала, h - величина интервала, /_i - частота
интервала, предшествующего модальному, /,n.i.i - частота интервала, следующего за
модальным.
Медиана (Me} - значение, которое делит пополам упорядоченное множество переменных,
расположенных в порядке возрастания или убывания. Так, если в распределении
фигурируют стандартные /Q-оценки, Me будет точка шкалы, соответствующая 100 баллам.
При выборе и интерпретации М. ц. т. необходимо учитывать следующие особенности и
правила использования приведенных показателей.
1. При определении средних величин необходимо тщательное соблюдение требований
однородности переменных, репрезентативности и достаточности объема выборки.
2. Расчету средних величин должна предшествовать предварительная разбивка изучаемой
совокупности на качественно однородные группы.
3. Являясь обобщенной характеристикой ряда, М. ц. т. не позволяют учитывать
его вариации. Наряду с М. ц. т. обязательно использование мер рассеяния (сц. Меры
изменчивости).
4. Me не зависит от величин и частит встречаемости в рамках определенно о множества
переменных.
5. В малых совокупностях Мо нестабильна и может сильно изменяться п и единичных и
незначительных вариациях переменных, i
6. Каждое значение переменной влияет на величину средних. Если одно какое-нибудь
значение меняется на С единиц, ~х
изменяется в том же направлении на ~-
единиц. Это свойство особенно важно с т. з. возникновения ошибок средних из-за
выделяющихся значений переменных.
7. В унимодальных симметричных выборках среднее, Me и Мо совпадают.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147