Если бы над математикой тяготело одно лишь затруднение, причиняемое
понятием вообще, то она могла бы без околичностей оставить его в стороне,
поскольку именно понятие есть нечто большее, чем только указание сущностных
определенностей, т. е. рассудочных определений той или иной вещи, а
упрекнуть математику в недостаточной строгости этих определенностей никак
нельзя; [она могла бы оставить в стороне это затруднение], ибо не
принадлежит к тем наукам, которые должны иметь дело с понятиями своих
предметов и образовать свое содержание через развитие понятия, хотя бы
только путем резонерства. Но применяя метод своего бесконечного, она находит
главное противоречие в самбм характерном для нее методе, на котором она
вообще основывается как наука. Ибо исчисление бесконечного разрешает и
требует таких приемов, которые она должна отвергать, оперируя конечными
величинами, и в то же время она обращается со своими бесконечными величинами
как с конечными определенными количествами и хочет применять к первым те же
приемы, которые применяются к последним. Очень важно для развития этой науки
то, что она нашла для трансцендентных определений и действий над ними форму
обычного исчисления (Kalkuls).
При всей этой противоречивости своих действий математика показывает, что
результаты, которые она получает посредством их, вполне совпадают с теми,
которые она получает с помощью собственно математического метода,
геометрического и аналитического метода. Однако, с одной стороны, это
касается не всех результатов, и цель введения [математического] бесконечного
не только сокращение обычного пути, а достижение результатов, которых
последний дать не может. С другой же стороны, успех сам по себе не может
служить оправданием характера пути (die Manier des Wegs). А этот характер
исчисления бесконечного отягощен видимостью неточности, которую он сам себе
придает, увеличивая конечные величины на бесконечно малую величину и отчасти
сохраняя эту последнюю в дальнейших действиях, отчасти же и пренебрегая ею.
Этот прием заключает в себе ту странность, что, несмотря на признаваемую
неточность, получается результат, который не только довольно точен и столь
близок [к истинному результату ], что можно не обращать внимания на разницу,
но и совершенно точен. В самом же действии, предшествующем результату,
нельзя обойтись без представления, что некоторые величины не равны нулю, но
они столь незначительны, что их можно оставить без внимания. Однако в том,
что понимают под математической определенностью, совершенно отпадает всякое
различие между большей или меньшей точностью, подобно тому как в философии
может идти речь не о большей или меньшей вероятности, а единственно лишь об
истине. Если метод и применение бесконечного и находят оправдание в успехе,
то все же требовать их обоснования не так излишне, как представляется
излишним, например, требование доказать право пользоваться собственным
носом. Ведь в математическом познании как познании научном существенное
значение имеет доказательство, а в отношении получаемых результатов также
оказывается, что строго математический метод не для всех их доставляет
аргумент успеха, который к тому же есть лишь внешний аргумент.
Стоит рассмотреть более внимательно математическое понятие бесконечного и
наиболее замечательные попытки, которые ставят себе целью найти оправдание в
пользовании им и устранить затруднение, отягчающее метод. Рассмотрение таких
оправданий и определений математического бесконечного, которые я намерен
изложить в этом примечании более пространно, бросит в то же время наиболее
яркий свет и на самое природу истинного понятия и покажет, как оно
представлялось и легло в основу этих попыток.
Обычное определение математического бесконечного гласит, что оно есть
величина, больше которой, если она определена как бесконечно большая, или
меньше которой, если она определена как бесконечно малая, уже нет или - в
другой формулировке - как величина, которая в первом случае больше, а во
втором меньше любой другой величины. - В этой дефиниции выражено, конечно,
не истинное понятие, а скорее, как уже отмечено, лишь то же противоречие,
что и в бесконечном прогрессе. Но посмотрим, что содержится в ней в себе.
Величина определяется в математике как то, что может быть увеличено или
уменьшено, следовательно, вообще как безразличная граница. И вот, так как
бесконечно большое или бесконечно малое есть нечто такое, что уже больше не
может быть увеличено или уменьшено, то оно на самом деле уже не определенное
количество, как таковое.
Этот вывод необходим и непосредствен. Но именно это соображение, что
определенное количество, - а я называю в этом примечании определенным
количеством вообще то, чтб оно есть, [а именно ] конечное определенное
количество, - снято, обычно не приходит на ум, а между тем оно-то и
составляет затруднение для обыденного понимания, так как требуется, чтобы
определенное количество, когда оно бесконечно, мыслилось как нечто снятое,
как нечто такое, что не есть определенное количество, но количественная
определенность чего все же сохраняется.
Если обратимся к тому, как относится к этому определению Кант *, то
увидим, что он его находит несогласующимся с тем, что понимают под
бесконечным целым. "Согласно обыденному понятию бесконечна та величина,
больше которой (т. е. больше определенного множества содержащихся в ней
данных единиц) невозможна никакая другая величина. Но никакое множество не
может быть наибольшим, так как ко всякому множеству можно прибавить еще одну
или несколько единиц. Бесконечное целое не дает нам представления о том, как
оно велико, стало быть, понятие его не есть понятие максимума (или
минимума): посредством него мыслится только его отношение к любой полагаемой
единице, для которой бесконечное целое больше всякого числа. В зависимости
от того, взяли ли мы большую или меньшую единицу, бесконечное было бы
большим или меньшим, но бесконечность, так как она состоит лишь в отношении
к этой данной единице, оставалась бы одной и той же, хотя, конечно,
абсолютная величина целого вовсе не была бы таким образом познана".
Кант отвергает признание бесконечного целого некоторым максимумом,
завершенным множеством данных единиц. Максимум или минимум, как таковой, все
еще представляется определенным количеством, множеством. Таким
представлением не может быть отклонено указанное Кантом заключение, которое
приводит к большему или меньшему бесконечному. Вообще, когда бесконечное
представляют как определенное количество, для него сохраняет значение
различие большего или меньшего. Но эта критика не затрагивает понятия
истинного математического бесконечного, бесконечной разности, ибо последняя
уже не конечное определенное количество.
Напротив, даваемое Кантом понятие бесконечности, которое он называет
истинно трансцендентальным, гласит, что "последовательный синтез единицы при
измерении определенного количества никогда не может быть закончен" ".
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281