Но в применении к пространственным предметам
аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной
определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от
прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме
того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе
данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость,
значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д.
Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на
которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д.,
чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее
аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты
суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует
вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для
решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом,
требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе
определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний
может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе
определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в
обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего
все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть
полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается
честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному
способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того,
как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это
очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен
прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой -
длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность
круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из
которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного
треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму
дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того
определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении. - Если
для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в
дальнейшем они должны быть соединены, должны служить главным образом
элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии,
никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала
принимаются за линейные, равно как линии - за плоскостные. Однако, так как
вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они
были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют
как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в
котором моменты сохраняют смысл дискретных "одних"; аналитический переход от
последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время
геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д.
Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается
поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и
качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как
сумма малых плоскостей - плоскостью.
Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого
обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех
представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по
себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним
средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом
аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле
уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее
основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам,
а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для
геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что
арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим
пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование
плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12
линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12
плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных
величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется
сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над
числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны
с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину.
Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию -
это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum,
оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины,
но изменение ее как качественного определения пространственности, как
измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне
себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне
себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда
представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение
подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении
(скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны
брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне
себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение
единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому
можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что
представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость
различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким
образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы
арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе,
следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим
определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея
своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне
количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование
настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на
себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное
определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое
как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной
границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою
истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы
иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна
сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3
:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной
определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от
прямолинейных - к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме
того, приводит к тому, что пространственные предметы, согласно своей природе
данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, - плоскость,
значит, как множество линий, линия - как множество точек и т. д.
Единственный интерес такого разложения состоит в определении самих точек, на
которые разлагается линия, линий, на которые разлагается плоскость, и т. д.,
чтобы, исходя из такого определения, иметь возможность двигаться далее
аналитически, т. е., собственно говоря, арифметически; эти исходные пункты
суть для искомых определений величины те элементы, из которых следует
вывести функцию и уравнение для конкретного - для непрерывной величины. Для
решения задач, в которых особенно целесообразно пользоваться этим приемом,
требуется в элементе в качестве исходного пункта нечто само по себе
определенное, в противоположность косвенному методу, поскольку последний
может, напротив, начинать лишь с пределов, в которых имеется то само по себе
определенное, нахождение которого он ставит себе целью. Результат сводится в
обоих методах к одному и тому же, если только возможно найти закон идущего
все дальше процесса определения, при отсутствии возможности достигнуть
полного, т. е. так называемого конечного определения. Кеплеру приписывается
честь, что ему впервые пришла в голову мысль прибегнуть к такому обратному
способу решения и сделать исходным пунктом дискретное. Его объяснение того,
как он понимает первую теорему Архимедова измерения круга, выражает это
очень просто. Первая теорема Архимеда, как известно, гласит, что круг равен
прямоугольному треугольнику, один катет которого равен радиусу, а другой -
длине окружности. Так как Кеплер понимает эту теорему так, что окружность
круга содержит столько же частей, сколько точек, т. е. бесконечно много, из
которых каждую можно рассматривать как основание равнобедренного
треугольника, и т. д., то он этим выражает разложение непрерывного в форму
дискретного. Встречающийся здесь термин бесконечное еще очень далек от того
определения, которое он должен иметь в дифференциальном исчислении. - Если
для таких дискретных найдена некоторая определенность, функция, то в
дальнейшем они должны быть соединены, должны служить главным образом
элементами непрерывного. Но так как никакая сумма точек не образует линии,
никакая сумма линий не образует плоскости, то точки уже с самого начала
принимаются за линейные, равно как линии - за плоскостные. Однако, так как
вместе с тем указанные линейные точки еще не должны быть линиями, чем они
были бы, если бы их принимали за определенные количества, то их представляют
как бесконечно малые. Дискретное способно лишь к внешнему соединению, в
котором моменты сохраняют смысл дискретных "одних"; аналитический переход от
последних совершается лишь к их сумме, он не есть в то же время
геометрический переход от точки к линии и от линии к плоскости и т. д.
Элементу, имеющему свое определение как точка или как линия, придается
поэтому в первом случае еще и качество линейности, а во втором - еще и
качество плоскости, дабы сумма как сумма малых линий оказалась линией, а как
сумма малых плоскостей - плоскостью.
Потребность получить этот момент качественного перехода и для этого
обратиться к бесконечно малым необходимо рассматривать как источник всех
представлений, которые, долженствуя устранить указанную трудность, сами по
себе составляют величайшую трудность. Чтобы не прибегать к этим крайним
средствам, необходимо было бы иметь возможность показать, что в самом
аналитическом приеме, представляющемся простым суммированием, на самом деле
уже содержится умножение. Но здесь появляется новое допущение, составляющее
основу в этом применении арифметических отношений к геометрическим фигурам,
а именно допущение, что арифметическое умножение есть также и для
геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, что
арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим
пространственным определениям линии, есть в то же время продупирование
плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12
линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12
плоскостных футов, и притом квадратных футов, так как в обоих как дискретных
величинах единица - одна и та же. Умножение линий на линии представляется
сначала чем-то бессмысленным, поскольку умножение производится вообще над
числами, т. е. оно такое их изменение, при котором они совершенно однородны
с тем, во что они переходят, - с произведением, и изменяют лишь величину.
Напротив, то, чтб называлось бы умножением линии, как таковой, на линию -
это действие называли ductus lineae in lineam, равно как plani in planum,
оно есть также ductus puncti in lineam, - есть не просто изменение величины,
но изменение ее как качественного определения пространственности, как
измерения; переход линии в плоскость следует понимать как выход первой вовне
себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне
себя - некоторое целое пространство. То же самое получается, когда
представляют, что движение точки образует (ist) линию и т. д.; но движение
подразумевает определение времени и поэтому выступает в этом представлении
(скорее лишь как случайное, внешнее изменение состояния; здесь же мы должны
брать ту определенность понятия, которую мы (сформулировали как выход вовне
себя - качественное изменение - и которая арифметически есть умножение
единицы (как точки и т. д.) на численность (на линию и т. д.). - К этому
можно |еще прибавить, что при выходе плоскости вовне себя, что
представлялось бы умножением площади на площадь, возникает [видимость
различия между арифметическим и геометрическим [продуцированном таким
образом, что выход плоскости вовне себя |как ductus plani in planum давал бы
арифметически умножение второго измерения (Dimensionsbestimmung) на второе,
следовательно, четырехмерное произведение, которое, однако, геометрическим
определением понижается до трехмерного. Если, с одной стороны, число, имея
своим принципом единицу, дает твердое определение для внешне
количественного, то, с другой стороны, свойственное числу продуцирование
настолько же формально, взятое как числовое определение, помноженное само на
себя, есть 3 3 3 3; но та же величина, помноженная на себя как плоскостное
определение, удерживается на 3*3*3, так как пространство, [представляемое
как выход за свои пределы, начинающийся с точки, этой лишь абстрактной
границы, имеет как конкретную определенность, начинающуюся с линии, свою
истинную границу в третьем измерении. Упомянутое выше различие могло бы
иметь действительное значение для свободного движения, в котором одна
сторона, пространственная, определяется геометрически (в законе Кеплера - s3
:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281