- А именно известно, что в механике
членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается
определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с
моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением
сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части
некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого.
Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно
бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на
основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном,
оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены
ряда лишь как части некоторой
суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий
качественное определение, которое здесь важнее всего.
В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость
способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее
утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы
вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают
лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее
изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое
приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное
значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого
качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан
первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом,
остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной
малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или
ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд,
исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного
метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об
отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там
же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их
нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в
повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и
которое,
стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме
некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны
в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, -
это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных
выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной
мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых
членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой
природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными,
и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких,
в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для
упрощения и сокращения исчисления.
Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод
рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о
бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и
пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого
в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы
должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно
исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может
быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму
всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории
приращения и разности функций, переменная величина которой получает
приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в
дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в
соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание,
почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного
количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке
зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в
которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное
качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что
они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству;
с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения,
которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых
дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении
дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем
примечании.
Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали
относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется
бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела
отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном
исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об
этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не
вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более
подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и
содержится указанная выше истинная категория качественного определения
отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx
и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .-
следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма
исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он
извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента
обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот
предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать
некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с
одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем
дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое,
встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только
отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как
это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т.
д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной
определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта
категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции,
еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к
такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь
место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное
такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не
привело бы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
членам ряда, в котором разлагается функция какого-нибудь движения, придается
определенное значение, так что первый член или первая функция соотносится с
моментом скорости, вторая - с силой ускорения, а третья - с сопротивлением
сил. Поэтому 'члены ряда должны рассматриваться здесь не только как части
некоторой суммы, но как качественные моменты некоторого понятия как целого.
Благодаря этому отбрасывание остальных членов, принадлежащих к дурно
бесконечному ряду, имеет смысл, совершенно отличный от отбрасывания их на
основании их относительной малости. Решение задачи, данное Ньютоном,
оказалось ошибочным не потому, что в нем не принимаются во внимание члены
ряда лишь как части некоторой
суммы, а потому, что не принимается во внимание член, содержащий
качественное определение, которое здесь важнее всего.
В этом примере качественный смысл есть то, от чего ставится в зависимость
способ действия. В связи с этим мы можем тотчас же привести общее
утверждение, что все затруднение с принципом было бы устранено, если бы
вместо формализма, исходя из которого определение дифференциала усматривают
лишь в задаче, дающей ему это имя, [т. е.] в отличии вообще функции от ее
изменения после того, как ее переменная величина получила некоторое
приращение, - если бы вместо этого формализма было указано качественное
значение принципа и действие было поставлено в зависимость от этого
качественного значения. В этом смысле дифференциал от х полностью исчерпан
первым членом ряда, получающегося путем разложения (х + dxY). Таким образом,
остальные члены не принимаются во внимание не из-за их относительной
малости; здесь не предполагается никакой такой неточности, погрешности или
ошибки, которая бы исправлялась и устранялась другой ошибкой, - взгляд,
исходя главным образом из которого Карно обосновывает правомерность обычного
метода исчисления бесконечно малых. Так как дело идет не о сумме, а об
отношении, то дифференциал полностью находят посредством. первого члена; там
же, где есть нужда в новых членах, в дифференциалах высших разрядов, их
нахождение (Bestimmung) состоит не в продолжении ряда как суммы, а в
повторении одного и того же отношения, единственно которое имеют в виду и
которое,
стало быть, полностью имеется уже в первом члене. Потребность в форме
некоторого ряда, в суммировании этого ряда и все, что связано с этим, должны
в таком случае быть совершенно отделены от указанного интереса отношения.
Разъяснения, даваемые Карно относительно метода бесконечных величин, -
это наиболее ясное и четкое изложение того, что нам встретилось в указанных
выше представлениях. Но при переходе к самим действиям у него в той или иной
мере появляются обычные представления о бесконечной малости опускаемых
членов по сравнению с другими. Он оправдывает метод не столько самой
природой вещей, сколько тем фактом, что результаты оказываются правильными,
и полезностью введения неполных уравнений, как он их называет (т. е. таких,
в которых осуществляют такое арифметически неправильное отбрасывание), для
упрощения и сокращения исчисления.
Лагранж, как известно, вновь принял первоначальный метод Ньютона, метод
рядов, чтобы избавиться от трудностей, связанных с представлением о
бесконечно малом, равно как и с методом первых и последних отношений и
пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого
в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно известны, мы
должны отметить - поскольку это касается нашей темы - лишь то, что оно
исходит из основного положения, что разность, не превращаясь в нуль, может
быть принята столь малой, что каждый член ряда превосходит по величине сумму
всех следующих за ним членов. - При этом методе также начинают с категории
приращения и разности функций, переменная величина которой получает
приращение, что и вызывает появление докучливого ряда; равно как в
дальнейшем члены ряда, которые должны быть опущены, принимаются в
соображение, лишь поскольку они составляют некоторую сумму, и основание,
почему они отбрасываются, усматривается в относительности их определенного
количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится вообще к точке
зрения, встречающейся, с одной стороны, в отдельных видах применения, в
которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное
качественное значение и часть из них оставляется без внимания не потому, что
они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству;
с другой же стороны, отбрасывание зависит от той существенной точки зрения,
которая определенно выступает у Лагранжа относительно так называемых
дифференциальных коэффициентов лишь в так называемом применении
дифференциального исчисления, что мы подробнее разъясним в следующем
примечании.
Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали
относительно обсуждаемой нами формы величины) тому, что при этом называется
бесконечно малым, обнаруживается непосредственнее всего в категории предела
отношения, которая приведена выше и проведение которой в дифференциальном
исчислении было названо особого рода методом. Из рассуждений Лагранжа об
этом методе, что ему недостает легкости в применении и что термин предел не
вызывает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим более
подробно его аналитическое значение. Именно в представлении о пределе и
содержится указанная выше истинная категория качественного определения
отношения между переменными величинами; ибо формы их, которые появляются, dx
и dy, должны быть взяты dy dx здесь просто лишь как моменты - и само .-
следует рассматривать как единый неделимый знак. Что для механизма
исчисления, особенно в его применении, утрачивается преимущество, которое он
извлекает из того обстоятельства, что члены дифференциального коэффициента
обособляются друг от друга, - это следует здесь оставить без внимания. Этот
предел должен быть теперь пределом данной функции; он должен указать
некоторое значение в связи с ней, определяемое способом выведения. Но с
одной лишь категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем
дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что бесконечно малое,
встречающееся в дифференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только
отрицательный, никчемный смысл некоторой неконечной, не данной величины, как
это имеет место, [например], когда говорят: "бесконечное множество", "и т.
д. до бесконечности" и т. п., а определенный смысл качественной
определенности количественного, момента отношения, как такового. Однако эта
категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к данной функции,
еще не влияет сама по себе на рассмотрение этой функции и не приводит к
такому пользованию указанным определением, которое должно было бы иметь
место в последней; таким образом, и представление о пределе, ограниченное
такой доказанной относительно него определенностью, также ни к чему не
привело бы.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281