е. определяется самим собой. Ясно выраженная качественная
определенность величин принадлежит, таким образом (это также было упомянуто
выше), по своему существу к степенным определениям, а так как специфика
дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует
качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом
необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их
решения, ради которых применяется дифференциальное исчисление, показывают,
что интерес в них состоит единственно лишь в рассмотрении степенных
определений, как таковых.
Как ни важна эта основа и хотя она сразу же ставит на первое место нечто
определенное, а не чисто формальные категории переменных, непрерывных или
бесконечных величин и т. п. или только функции вообще, она все же еще
слишком обща;
ведь с тем же самым имеют дело и другие действия; уже возведение в
степень и извлечение корня, а затем действия над показательными величинами и
логарифмами, ряды, уравнения высших степеней, имеют интерес и применение
только к отношениям, основанным на степенях. Нет сомнения, что все они в
своей совокупности составляют систему рассмотрения степеней; но ответ на
вопрос, какие именно из этих отношений, в которые могут быть поставлены
степенные определения, составляют собственный предмет и интерес
дифференциального исчисления, должен быть почерпнут из него самого, т. е. из
его так называемых применений. Последние и составляют самое суть,
действительный способ действия в математическом решении того или иного круга
проблем; этот способ действия существовал раньше теории или общей части, и
применением оно было названо позднее лишь по отношению к созданной затем
теории, которая ставила себе целью, с одной стороны, установить общий метод
этого способа действия, с другой - дать ему принципы, т. е. обоснование.
Какими тщетными для господствовавшего до сих пор понимания этого способа
действия были старания найти принципы, которые действительно разрешили бы
выступающее здесь противоречие, а не оправдывали бы или не прикрывали бы его
ссылкой на незначительность того, что согласно математическому способу
действия хотя и необходимо, но здесь должно быть отброшено, или ссылкой на
сводящуюся к тому же самому возможность бесконечного или какого угодно
приближения и т. п., -это мы показали в предыдущем примечании. Если бы
всеобщее этого способа действия было абстрагировано из действительной части
математики, именуемой дифференциальным исчислением, иначе, чем это делалось
до сих пор, то эти принципы и занятие ими оказались бы столь же излишними,
сколь они в самих себе оказываются чем-то неправильным и постоянно
противоречивым.
Если будем доискиваться этой специфики, просто обозревая то, что имеется
в этой части математики, то мы найдем в качестве ее предмета а) уравнения, в
которых какое угодно число величин (мы можем здесь ограничиться вообще
двумя) связано в одно целое определенности так, что эти величины, во-первых,
имеют свою определенность в эмпирических величинах как твердых пределах, а
затем в такой же связи и с последними, и между собой, как это вообще имеет
место в уравнениях; не так как здесь имеется лишь одно уравнение для обеих
величин (если величин более двух, то и число уравнений соотютственно
увеличивается, но всегда оно будет меньше числа величин), то это уравнения
неопределенные. Во-вторых, они связаны так, что одна из сторон [уравнения],
сообщающая этим величинам их определенность, заключается в том, что они (по
крайней мере одна из них) даны в уравнении в более высокой степени, чем
первая степень.
Относительно этого мы прежде всего должны сделать несколько замечаний.
Во-первых, величины, взятые со стороны верного из указанных выше
определений, носят всецело характер лишь таких переменных величин, какие
встречаются в задачах неопределенного анализа. Их значение неопределенно, но
так, что если одна получает откуда-то извне совершенно определенное
значение, т. е. числовое значение, то и другая становится определенной;
таким образом, одна есть функция другой. Поэтому категории переменных
величин, функций и тому подобное, как уже сказано выше, только формальны для
специфической определенности величин, о которой здесь идет речь, так как
присущая им всеобщность еще не содержит того специфического, что :оставляет
весь интерес дифференциального исчисления и что нельзя объяснить из нее при
помощи анализа; они сами по себе простые, незначительные, легкие
определения, которые делаются трудными только тогда, когда вкладывают в них
то, чего в ник нет, для того чтобы иметь затем возможность вывести его из
них, а именно вкладывают специфическое определение дифференциального
исчисления. - Что касается, далее, так называемой константы, то о ней можно
заметить, что она прежде всего безразличная эмпирическая величина, имеющая
для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому
определенному количеству, как предел их минимума и максимума; но способ
соединения констант с переменными величинами сам составляет один из моментов
для природы частной фуякции, которую образуют эти величины. Но и наоборот,
сами константы также функции. Поскольку, например, прямая линия имеет
значение параметра параболы, это ее значение состоит в том, что она функция;
так же как в разложении двучлена вообще константа как коэффициент первого
члена ряда есть сумма корней, как коэффициент второго члена - сумма их
произведений по два и т. д., стало быть, эти константы суть здесь вообще
функции корней. Там, где в интегральном исчислении константа определяется из
данной формулы, она трактуется как ее функция. Эти коэффициенты мы
рассмотрим далее и в другом определении как функции, конкретное значение
которых составляет весь [их ] интерес.
Но то характерное, которым рассмотрение переменных величин в
дифференциальном исчислении отличается от их свойства в неопределенных
задачах, мы должны видеть в том, что по крайней мере одна из этих величин
или даже все они имеют степень выше первой, причем опять-таки безразлично,
все ли они имеют одну и ту же высшую степень или они имеют неодинаковую
степень; специфическая неопределенность, которую они здесь имеют, состоит
единственно лишь в том, что они функции друг друга в таком степенном
отношении. Благодаря этому изменение переменных величин детерминировано
качественно и, стало быть, оно непрерывно, и эта непрерывность, которая сама
по себе есть опять-таки лишь формальная категория некоторого тождества
вообще, некоторой определенности, сохраняющейся в изменении, остающейся
равной себе, имеет здесь свой детерминированный смысл, и притом единственно
лишь в степенном отношении, которое не имеет своим показателем никакого
определенного количества и составляет не-количественную, сохраняющуюся
определенность отношения переменных величин.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
определенность величин принадлежит, таким образом (это также было упомянуто
выше), по своему существу к степенным определениям, а так как специфика
дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует
качественными формами величин, то свойственным ему математическим предметом
необходимо должно быть рассмотрение форм степеней, и все задачи и их
решения, ради которых применяется дифференциальное исчисление, показывают,
что интерес в них состоит единственно лишь в рассмотрении степенных
определений, как таковых.
Как ни важна эта основа и хотя она сразу же ставит на первое место нечто
определенное, а не чисто формальные категории переменных, непрерывных или
бесконечных величин и т. п. или только функции вообще, она все же еще
слишком обща;
ведь с тем же самым имеют дело и другие действия; уже возведение в
степень и извлечение корня, а затем действия над показательными величинами и
логарифмами, ряды, уравнения высших степеней, имеют интерес и применение
только к отношениям, основанным на степенях. Нет сомнения, что все они в
своей совокупности составляют систему рассмотрения степеней; но ответ на
вопрос, какие именно из этих отношений, в которые могут быть поставлены
степенные определения, составляют собственный предмет и интерес
дифференциального исчисления, должен быть почерпнут из него самого, т. е. из
его так называемых применений. Последние и составляют самое суть,
действительный способ действия в математическом решении того или иного круга
проблем; этот способ действия существовал раньше теории или общей части, и
применением оно было названо позднее лишь по отношению к созданной затем
теории, которая ставила себе целью, с одной стороны, установить общий метод
этого способа действия, с другой - дать ему принципы, т. е. обоснование.
Какими тщетными для господствовавшего до сих пор понимания этого способа
действия были старания найти принципы, которые действительно разрешили бы
выступающее здесь противоречие, а не оправдывали бы или не прикрывали бы его
ссылкой на незначительность того, что согласно математическому способу
действия хотя и необходимо, но здесь должно быть отброшено, или ссылкой на
сводящуюся к тому же самому возможность бесконечного или какого угодно
приближения и т. п., -это мы показали в предыдущем примечании. Если бы
всеобщее этого способа действия было абстрагировано из действительной части
математики, именуемой дифференциальным исчислением, иначе, чем это делалось
до сих пор, то эти принципы и занятие ими оказались бы столь же излишними,
сколь они в самих себе оказываются чем-то неправильным и постоянно
противоречивым.
Если будем доискиваться этой специфики, просто обозревая то, что имеется
в этой части математики, то мы найдем в качестве ее предмета а) уравнения, в
которых какое угодно число величин (мы можем здесь ограничиться вообще
двумя) связано в одно целое определенности так, что эти величины, во-первых,
имеют свою определенность в эмпирических величинах как твердых пределах, а
затем в такой же связи и с последними, и между собой, как это вообще имеет
место в уравнениях; не так как здесь имеется лишь одно уравнение для обеих
величин (если величин более двух, то и число уравнений соотютственно
увеличивается, но всегда оно будет меньше числа величин), то это уравнения
неопределенные. Во-вторых, они связаны так, что одна из сторон [уравнения],
сообщающая этим величинам их определенность, заключается в том, что они (по
крайней мере одна из них) даны в уравнении в более высокой степени, чем
первая степень.
Относительно этого мы прежде всего должны сделать несколько замечаний.
Во-первых, величины, взятые со стороны верного из указанных выше
определений, носят всецело характер лишь таких переменных величин, какие
встречаются в задачах неопределенного анализа. Их значение неопределенно, но
так, что если одна получает откуда-то извне совершенно определенное
значение, т. е. числовое значение, то и другая становится определенной;
таким образом, одна есть функция другой. Поэтому категории переменных
величин, функций и тому подобное, как уже сказано выше, только формальны для
специфической определенности величин, о которой здесь идет речь, так как
присущая им всеобщность еще не содержит того специфического, что :оставляет
весь интерес дифференциального исчисления и что нельзя объяснить из нее при
помощи анализа; они сами по себе простые, незначительные, легкие
определения, которые делаются трудными только тогда, когда вкладывают в них
то, чего в ник нет, для того чтобы иметь затем возможность вывести его из
них, а именно вкладывают специфическое определение дифференциального
исчисления. - Что касается, далее, так называемой константы, то о ней можно
заметить, что она прежде всего безразличная эмпирическая величина, имеющая
для переменных величин определяющее значение лишь по своему эмпирическому
определенному количеству, как предел их минимума и максимума; но способ
соединения констант с переменными величинами сам составляет один из моментов
для природы частной фуякции, которую образуют эти величины. Но и наоборот,
сами константы также функции. Поскольку, например, прямая линия имеет
значение параметра параболы, это ее значение состоит в том, что она функция;
так же как в разложении двучлена вообще константа как коэффициент первого
члена ряда есть сумма корней, как коэффициент второго члена - сумма их
произведений по два и т. д., стало быть, эти константы суть здесь вообще
функции корней. Там, где в интегральном исчислении константа определяется из
данной формулы, она трактуется как ее функция. Эти коэффициенты мы
рассмотрим далее и в другом определении как функции, конкретное значение
которых составляет весь [их ] интерес.
Но то характерное, которым рассмотрение переменных величин в
дифференциальном исчислении отличается от их свойства в неопределенных
задачах, мы должны видеть в том, что по крайней мере одна из этих величин
или даже все они имеют степень выше первой, причем опять-таки безразлично,
все ли они имеют одну и ту же высшую степень или они имеют неодинаковую
степень; специфическая неопределенность, которую они здесь имеют, состоит
единственно лишь в том, что они функции друг друга в таком степенном
отношении. Благодаря этому изменение переменных величин детерминировано
качественно и, стало быть, оно непрерывно, и эта непрерывность, которая сама
по себе есть опять-таки лишь формальная категория некоторого тождества
вообще, некоторой определенности, сохраняющейся в изменении, остающейся
равной себе, имеет здесь свой детерминированный смысл, и притом единственно
лишь в степенном отношении, которое не имеет своим показателем никакого
определенного количества и составляет не-количественную, сохраняющуюся
определенность отношения переменных величин.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281