На самом же деле это метафизическое бесконечное скорее лишь
относительно, ибо выражаемое им отрицание противоположно границе лишь в том
смысле, что граница остается существовать вне него и не снимается им;
математическое же бесконечное действительно сняло конечную границу внутри
себя, так как ее потустороннее соединено с ней.
Спиноза выставляет и поясняет примерами понятие истинной бесконечности в
противоположность дурной главным образом в том смысле, в котором мы
показали, что так называемая сумма или конечное выражение бесконечного ряда
следует рассматривать скорее как бесконечное выражение. Понятие истинной
бесконечности будет лучше всего освещено, если я рассмотрю сказанное им об
этом предмете непосредственно вслед за только что изложенными соображениями.
Спиноза определяет прежде всего бесконечное как абсолютное утверждение
существования какой-нибудь природы, а конечное, напротив, как
определенность, как отрицание. Абсолютное утверждение некоторого
существования следует понимать именно как его соотношение с самим собой,
означающее, что оно есть не потому, что другое есть; конечное же есть
отрицание, есть прекращение как соотношение с некоторым иным, начинающимся
вне его. Абсолютное утверждение некоторого существования, правда, не
исчерпывает понятия бесконечности; это понятие подразумевает, что
бесконечность есть утверждение не как непосредственное, а только как
восстановление через рефлексию иного в само себя, или, иначе говоря, как
отрицание отрицательного. Но у Спинозы субстанция и ее абсолютное единство
имеют форму неподвижного единства, т. е. не опосредствующего себя с самим
собой, - форму какой-то оцепенелости, в которой еще не находится понятие
отрицательного единства самости, субъективность.
В качестве математического примера для пояснения истинного бесконечного
(письмо XXIX) Спиноза приводит пространство между двумя неравными кругами,
один из которых находится внутри другого, не касаясь его, и которые не
концентричны. Этой фигуре и понятию, в качестве примера которого он ею
пользуется, он, по-видимому, придавал столь большое значение, что сделал ее
эпиграфом своей "Этики". - "Математики, - говорит он, - умозаключают, что
неравенства, возможные в таком пространстве, бесконечны не от бесконечного
множества частей, ибо величина этого пространства определена и ограничена, и
я могу предположить такое пространство большим или меньшим, а они делают
этот вывод на том основании, что природа этой вещи превосходит всякую
определенность" 10Э. - Как видим, Спиноза отвергает представление о
бесконечном как о множестве или как о незавершенном ряде и напоминает, что в
пространстве, приводимом им в качестве примера, бесконечное не находится по
ту сторону, а налично и полно; это пространство есть нечто ограниченное, но
именно потому бесконечное, "что природа вещи превосходит всякую
определенность", так как содержащееся в нем определение величины в то же
время не может быть представлено как определенное количество или, употребляя
приведенное выше выражение Канта, синтезирование не может быть завершено,
доведено до некоторого - дискретного - определенного количества. - Каким
образом противоположность между не-прерывным и дискретным определенным
количеством приводит к бесконечному, - это мы разъясним в одном из следующих
примечаний. - Бесконечное ряда Спиноза называет бесконечным воображения,
бесконечное же как соотношение с самим собой - бесконечным мышления или
infinitun actu [актуально бесконечным ]. Оно именно actu, действительно
бесконечно, так как оно внутри себя завершено и налично. Так, ряд
0,285714... или 1 + а + а+ 0s... есть лишь бесконечное воображения или
мнения, ибо он не обладает действительностью, ему безусловно чего-то
недостает. Напротив, - или есть в действительности не только то, что ряд
представляет собой в своих наличных членах, но к тому же еще и то, чего ему
недостает, чем он только должен быть, или есть такая же конечная величина,
заключенная между двумя кругами пространство и его неравенства в примере
Спинозы, и, подобно этому пространству, может быть увеличена или уменьшена.
Но отсюда не получается нелепость большего или меньшего бесконечного, ведь
это определенное количество целого не касается отношения его моментов,
природы вещи, т. е. качественного определения величины; то, что в
бесконечном ряде имеется налицо, есть также конечное определенное
количество, но кроме того еще нечто недостающее. Напротив, воображение не
идет дальше определенного количества, как такового, и не принимает во
внимание качественного соотношения, составляющего основу имеющейся
несоизмеримости.
Несоизмеримость, имеющая место в примере, приводимом Спинозой, заключает
в себе вообще криволинейные функции и приводит к тому бесконечному, которое
ввела математика при действиях с такими функциями и вообще при действиях с
функциями переменных величин; это бесконечное есть истинно математическое,
качественное бесконечное, которое мыслил себе и Спиноза. Это определение мы
должны здесь рассмотреть подробнее.
Что касается, во-первых, признаваемой столь важной категории
переменности, под которую подводятся соотносимые в этих функциях величины,
то они прежде всего переменны не в том 2 смысле, в каком в дроби - переменны
оба числа 2 и 7, поскольку вместо них можно поставить также 4и14,6и21ит.д.до
бесконечности без изменения значения дроби. В этом смысле
можно с еще большим правом в дроби , поставить вместо а и b любые числа,
не изменяя того, что должно выражать .. Лишь в том смысле, что и вместо л и
у в той или иной функции можно поставить бесконечное, т. е. неисчерпаемое
множество чисел, а и b суть такие же переменные величины, как и х и у.
Поэтому выражение переменные величины страдает неясностью и неудачно выбрано
для определений величин, интерес которых и способ действий над которыми
коренятся в чем-то совершенно другом, чем только в их переменности.
Чтобы выяснить, в чем заключается истинное определение тех моментов
функции, которыми занимается высший анализ, мы снова должны вкратце обозреть
отмеченные выше ступени.
В дробях числа 2 и 7, каждое само по себе, суть определенные кванты и
соотношение для них несущественно; а и b равным образом должны представлять
такие определенные количества, которые и вне отношения остаются тем, что они
есть. Далее, суть также постоянное определенное количество, некоторое
частное; отношение составляет некую численность, единицей которой служит
знаменатель, а численностью этих единиц - числитель, или наоборот. Если бы
мы подставили вместо 2 и 7 - 4 и 14ит.д.,то отношение осталось бы тем же
самым и как определенное количество. Но это в корне изменяется, например, в
функции -Ї/"; здесь, правда, л и у имеют [и тот] смысл, что могут быть
определенными количествами; но определенное частное имеют не х и у, а лишь х
и у2. Поэтому указанные стороны отношения л и у, во-первых, не только не
определенные количества, но и, во-вторых, их отношение не постоянное
определенное количество (а также не имеется в виду такое определенное
количество, как это, например, имеет место при а и b), не постоянное
частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
относительно, ибо выражаемое им отрицание противоположно границе лишь в том
смысле, что граница остается существовать вне него и не снимается им;
математическое же бесконечное действительно сняло конечную границу внутри
себя, так как ее потустороннее соединено с ней.
Спиноза выставляет и поясняет примерами понятие истинной бесконечности в
противоположность дурной главным образом в том смысле, в котором мы
показали, что так называемая сумма или конечное выражение бесконечного ряда
следует рассматривать скорее как бесконечное выражение. Понятие истинной
бесконечности будет лучше всего освещено, если я рассмотрю сказанное им об
этом предмете непосредственно вслед за только что изложенными соображениями.
Спиноза определяет прежде всего бесконечное как абсолютное утверждение
существования какой-нибудь природы, а конечное, напротив, как
определенность, как отрицание. Абсолютное утверждение некоторого
существования следует понимать именно как его соотношение с самим собой,
означающее, что оно есть не потому, что другое есть; конечное же есть
отрицание, есть прекращение как соотношение с некоторым иным, начинающимся
вне его. Абсолютное утверждение некоторого существования, правда, не
исчерпывает понятия бесконечности; это понятие подразумевает, что
бесконечность есть утверждение не как непосредственное, а только как
восстановление через рефлексию иного в само себя, или, иначе говоря, как
отрицание отрицательного. Но у Спинозы субстанция и ее абсолютное единство
имеют форму неподвижного единства, т. е. не опосредствующего себя с самим
собой, - форму какой-то оцепенелости, в которой еще не находится понятие
отрицательного единства самости, субъективность.
В качестве математического примера для пояснения истинного бесконечного
(письмо XXIX) Спиноза приводит пространство между двумя неравными кругами,
один из которых находится внутри другого, не касаясь его, и которые не
концентричны. Этой фигуре и понятию, в качестве примера которого он ею
пользуется, он, по-видимому, придавал столь большое значение, что сделал ее
эпиграфом своей "Этики". - "Математики, - говорит он, - умозаключают, что
неравенства, возможные в таком пространстве, бесконечны не от бесконечного
множества частей, ибо величина этого пространства определена и ограничена, и
я могу предположить такое пространство большим или меньшим, а они делают
этот вывод на том основании, что природа этой вещи превосходит всякую
определенность" 10Э. - Как видим, Спиноза отвергает представление о
бесконечном как о множестве или как о незавершенном ряде и напоминает, что в
пространстве, приводимом им в качестве примера, бесконечное не находится по
ту сторону, а налично и полно; это пространство есть нечто ограниченное, но
именно потому бесконечное, "что природа вещи превосходит всякую
определенность", так как содержащееся в нем определение величины в то же
время не может быть представлено как определенное количество или, употребляя
приведенное выше выражение Канта, синтезирование не может быть завершено,
доведено до некоторого - дискретного - определенного количества. - Каким
образом противоположность между не-прерывным и дискретным определенным
количеством приводит к бесконечному, - это мы разъясним в одном из следующих
примечаний. - Бесконечное ряда Спиноза называет бесконечным воображения,
бесконечное же как соотношение с самим собой - бесконечным мышления или
infinitun actu [актуально бесконечным ]. Оно именно actu, действительно
бесконечно, так как оно внутри себя завершено и налично. Так, ряд
0,285714... или 1 + а + а+ 0s... есть лишь бесконечное воображения или
мнения, ибо он не обладает действительностью, ему безусловно чего-то
недостает. Напротив, - или есть в действительности не только то, что ряд
представляет собой в своих наличных членах, но к тому же еще и то, чего ему
недостает, чем он только должен быть, или есть такая же конечная величина,
заключенная между двумя кругами пространство и его неравенства в примере
Спинозы, и, подобно этому пространству, может быть увеличена или уменьшена.
Но отсюда не получается нелепость большего или меньшего бесконечного, ведь
это определенное количество целого не касается отношения его моментов,
природы вещи, т. е. качественного определения величины; то, что в
бесконечном ряде имеется налицо, есть также конечное определенное
количество, но кроме того еще нечто недостающее. Напротив, воображение не
идет дальше определенного количества, как такового, и не принимает во
внимание качественного соотношения, составляющего основу имеющейся
несоизмеримости.
Несоизмеримость, имеющая место в примере, приводимом Спинозой, заключает
в себе вообще криволинейные функции и приводит к тому бесконечному, которое
ввела математика при действиях с такими функциями и вообще при действиях с
функциями переменных величин; это бесконечное есть истинно математическое,
качественное бесконечное, которое мыслил себе и Спиноза. Это определение мы
должны здесь рассмотреть подробнее.
Что касается, во-первых, признаваемой столь важной категории
переменности, под которую подводятся соотносимые в этих функциях величины,
то они прежде всего переменны не в том 2 смысле, в каком в дроби - переменны
оба числа 2 и 7, поскольку вместо них можно поставить также 4и14,6и21ит.д.до
бесконечности без изменения значения дроби. В этом смысле
можно с еще большим правом в дроби , поставить вместо а и b любые числа,
не изменяя того, что должно выражать .. Лишь в том смысле, что и вместо л и
у в той или иной функции можно поставить бесконечное, т. е. неисчерпаемое
множество чисел, а и b суть такие же переменные величины, как и х и у.
Поэтому выражение переменные величины страдает неясностью и неудачно выбрано
для определений величин, интерес которых и способ действий над которыми
коренятся в чем-то совершенно другом, чем только в их переменности.
Чтобы выяснить, в чем заключается истинное определение тех моментов
функции, которыми занимается высший анализ, мы снова должны вкратце обозреть
отмеченные выше ступени.
В дробях числа 2 и 7, каждое само по себе, суть определенные кванты и
соотношение для них несущественно; а и b равным образом должны представлять
такие определенные количества, которые и вне отношения остаются тем, что они
есть. Далее, суть также постоянное определенное количество, некоторое
частное; отношение составляет некую численность, единицей которой служит
знаменатель, а численностью этих единиц - числитель, или наоборот. Если бы
мы подставили вместо 2 и 7 - 4 и 14ит.д.,то отношение осталось бы тем же
самым и как определенное количество. Но это в корне изменяется, например, в
функции -Ї/"; здесь, правда, л и у имеют [и тот] смысл, что могут быть
определенными количествами; но определенное частное имеют не х и у, а лишь х
и у2. Поэтому указанные стороны отношения л и у, во-первых, не только не
определенные количества, но и, во-вторых, их отношение не постоянное
определенное количество (а также не имеется в виду такое определенное
количество, как это, например, имеет место при а и b), не постоянное
частное, а это частное как определенное количество совершенно переменно.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281