Поэтому следует возразить
против формализма другого рода, что первая степень есть степень лишь в
отношении к более высоким степеням; сам по себе х есть лишь какой-то
неопределенный квант. Поэтому нет смысла дифференцировать само по себе
уравнения у = ax + в, прямой линии, или s = ct, уравнение просто равномерной
скорости. Если из у = ах или же из у = ах + в получается а = dy/dx или из s
= ct получается . = с, то в такой же мере определением тангенса будет а =
у/х или определением просто равномерной скорости s/t = с. Последняя
выражается через dy/dx в связи с тем, что выдается за разложение [в ряд]
равномерно ускоренного движения. Но что в системе такого движения
встречается момент простой, просто равномерной скорости, т. е. не
определенной высшей степенью одного из моментов движения, - это само есть,
как отмечено выше, неосновательное допущение, опирающееся единственно лишь
на рутину метода. Так как метод исходит из представления о приращении,
получаемом переменной величиной, то, конечно, приращение может получить и
такая переменная величина, которая есть лишь функция первой степени; если же
после этого, чтобы найти дифференциал, берут отличие возникшего таким
образом второго уравнения от данного, то сразу же обнаруживается
бесполезность действия: уравнение, как мы уже заметили, до и после этого
действия остается для так называемых приращений тем же, что и для самих
переменных величин.
в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь
необходимо показать, какой интерес преследует это действие. Такое
рассмотрение может нам дать лишь знакомые уже результаты, какие по своей
форме имеются особенно в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал
изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить приметавшиеся
сюда чужеродные определения. - Основой для действий над уравнением
указанного вида оказывается то, что степень внутри самой себя понимается как
отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть
число, поскольку его изменение определено им же самим, его моменты, единица
и численность, тождественны, - полностью, как мы выяснили ранее, прежде
всего в квадрате, более формально (чтб не составляет здесь разницы) - в
более высоких степенях. Степень, ввиду того что она как число (хотя бы и
предпочитали термин величина как более всеобщее, она в себе всегда есть
число) есть множество и тогда, когда она изображена как сумма, может прежде
всего быть разложена внутри себя на любое множество чисел, которые и
относительно друг друга, и относительно их суммы имеют только то
определение, что они все вместе равны этой сумме. Но степень может быть
также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени.
Если степень принимается за сумму, то как сумму понимают и ее основное
число, корень, и оно может быть как угодно разложено, но это разнообразие
разложения есть безразличное эмпирически количественное (Quantitative).
Сумма, каковой должен быть корень, сведенная к своей простой определенности,
т. е. к своей истинной всеобщности, есть двучлен; всякое дальнейшее
увеличение числа членов есть не более как повторение того же определения и
потому нечто пустое *. Важна здесь, стало быть, только качественная
определенность членов, которая получается посредством возведения в степень
корня, принимаемого за сумму; эта определенность заключается единственно
лишь в изменении - в возведении в степень. Эти члены суть, следовательно,
всецело функции возведения в степень и [самой] степени. Такое изображение
числа как суммы множества таких членов, которые суть функции возведения в
степень, а затем интерес - найти форму таких функций и, далее, эту сумму из
множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от
указанной формы, - все это составляет, как известно, особое учение о рядах.
Но при этом нам важно выделить еще другой интерес, а именно отношение самой
лежащей в основании величины (определенность которой, поскольку она
некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе
некоторую степень) к функциям ее возведения в степень. Это отношение,
совершенно абстрагированное от названного выше интереса [нахождения ] суммы,
окажется вытекающей из действительной науки позицией (Gesichtspunkt) как
единственной, имеющейся в виду дифференциальным исчислением.
Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или,
вернее, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А
именно, мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит
степень, рассматривается внутри ее самой как сумма и притом как система
членов, поскольку последние суть функции возведения в степень, почему и
корень рассматривается как сумма, а в своей просто определенной форме - как
двучлен; хn= (у + z)n = (у + пуn-1z + ...). Для разложения степени в ряд, т.
е. для получения функций возведения в степень, эта формула исходила из
суммы, как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме, как таковой, ни о
происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение.
Соотношение величин, как таковое, есть то, что, с одной стороны, остается
после абстрагирования от plus некоторой суммы, как таковой, и что, с другой
стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате
разложения в степенной ряд. Но такое соотношение уже определено тем, что
здесь предмет есть уравнение, что уn = ахn также есть уже комплекс
нескольких (переменных) величин, содержащий их степенное определение. В этом
комплексе каждая из этих величин всецело положена как находящаяся в
соотношении, с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в
ней самой - положена как функция прочих величин; их свойство быть функциями
друг друга сообщает им это определение plus, но именно этим - определение
совершенно неопределенного plus, a не приращения, инкремента и т. п. Мы,
однако, могли бы также оставить без внимания этот абстрактный исходный
пункт; можно совершенно просто ограничиться тем, что после того как
переменные величины даны в уравнении как функции друг друга, так что эта
определенность заключает в себе отношение степеней, теперь сравниваются
между собой также и функции возведения в степень каждой из них, - каковые
вторые функции определены не чем иным, как самим возведением -в степень.
Можно сначала выдавать за желание или возможность сведение степенного
уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате
их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза, применение должны указать
пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана
единственно лишь ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих
степенных определений на примере такой величины, которая как сумма
принимается за различенную внутри себя, то это, с одной стороны, служило
лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, с другой - в этом
заключается способ их нахождения.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
против формализма другого рода, что первая степень есть степень лишь в
отношении к более высоким степеням; сам по себе х есть лишь какой-то
неопределенный квант. Поэтому нет смысла дифференцировать само по себе
уравнения у = ax + в, прямой линии, или s = ct, уравнение просто равномерной
скорости. Если из у = ах или же из у = ах + в получается а = dy/dx или из s
= ct получается . = с, то в такой же мере определением тангенса будет а =
у/х или определением просто равномерной скорости s/t = с. Последняя
выражается через dy/dx в связи с тем, что выдается за разложение [в ряд]
равномерно ускоренного движения. Но что в системе такого движения
встречается момент простой, просто равномерной скорости, т. е. не
определенной высшей степенью одного из моментов движения, - это само есть,
как отмечено выше, неосновательное допущение, опирающееся единственно лишь
на рутину метода. Так как метод исходит из представления о приращении,
получаемом переменной величиной, то, конечно, приращение может получить и
такая переменная величина, которая есть лишь функция первой степени; если же
после этого, чтобы найти дифференциал, берут отличие возникшего таким
образом второго уравнения от данного, то сразу же обнаруживается
бесполезность действия: уравнение, как мы уже заметили, до и после этого
действия остается для так называемых приращений тем же, что и для самих
переменных величин.
в) Сказанным определяется природа подлежащего действию уравнения и теперь
необходимо показать, какой интерес преследует это действие. Такое
рассмотрение может нам дать лишь знакомые уже результаты, какие по своей
форме имеются особенно в понимании этого предмета Лагранжем; но я придал
изложению совершенно элементарный характер, чтобы устранить приметавшиеся
сюда чужеродные определения. - Основой для действий над уравнением
указанного вида оказывается то, что степень внутри самой себя понимается как
отношение, как система определений отношения. Степень, указали мы выше, есть
число, поскольку его изменение определено им же самим, его моменты, единица
и численность, тождественны, - полностью, как мы выяснили ранее, прежде
всего в квадрате, более формально (чтб не составляет здесь разницы) - в
более высоких степенях. Степень, ввиду того что она как число (хотя бы и
предпочитали термин величина как более всеобщее, она в себе всегда есть
число) есть множество и тогда, когда она изображена как сумма, может прежде
всего быть разложена внутри себя на любое множество чисел, которые и
относительно друг друга, и относительно их суммы имеют только то
определение, что они все вместе равны этой сумме. Но степень может быть
также разложена на сумму таких различий, которые определены формой степени.
Если степень принимается за сумму, то как сумму понимают и ее основное
число, корень, и оно может быть как угодно разложено, но это разнообразие
разложения есть безразличное эмпирически количественное (Quantitative).
Сумма, каковой должен быть корень, сведенная к своей простой определенности,
т. е. к своей истинной всеобщности, есть двучлен; всякое дальнейшее
увеличение числа членов есть не более как повторение того же определения и
потому нечто пустое *. Важна здесь, стало быть, только качественная
определенность членов, которая получается посредством возведения в степень
корня, принимаемого за сумму; эта определенность заключается единственно
лишь в изменении - в возведении в степень. Эти члены суть, следовательно,
всецело функции возведения в степень и [самой] степени. Такое изображение
числа как суммы множества таких членов, которые суть функции возведения в
степень, а затем интерес - найти форму таких функций и, далее, эту сумму из
множества таких членов, поскольку это нахождение должно зависеть только от
указанной формы, - все это составляет, как известно, особое учение о рядах.
Но при этом нам важно выделить еще другой интерес, а именно отношение самой
лежащей в основании величины (определенность которой, поскольку она
некоторый комплекс, т. е. в данном случае уравнение, заключает в себе
некоторую степень) к функциям ее возведения в степень. Это отношение,
совершенно абстрагированное от названного выше интереса [нахождения ] суммы,
окажется вытекающей из действительной науки позицией (Gesichtspunkt) как
единственной, имеющейся в виду дифференциальным исчислением.
Однако сначала нужно прибавить к сказанному еще одно определение или,
вернее, устранить из сказанного одно заключающееся в нем определение. А
именно, мы сказали, что переменная величина, в определение которой входит
степень, рассматривается внутри ее самой как сумма и притом как система
членов, поскольку последние суть функции возведения в степень, почему и
корень рассматривается как сумма, а в своей просто определенной форме - как
двучлен; хn= (у + z)n = (у + пуn-1z + ...). Для разложения степени в ряд, т.
е. для получения функций возведения в степень, эта формула исходила из
суммы, как таковой; но здесь дело не идет ни о сумме, как таковой, ни о
происходящем из нее ряде, а от суммы должно брать только соотношение.
Соотношение величин, как таковое, есть то, что, с одной стороны, остается
после абстрагирования от plus некоторой суммы, как таковой, и что, с другой
стороны, требуется для нахождения функций, получающихся в результате
разложения в степенной ряд. Но такое соотношение уже определено тем, что
здесь предмет есть уравнение, что уn = ахn также есть уже комплекс
нескольких (переменных) величин, содержащий их степенное определение. В этом
комплексе каждая из этих величин всецело положена как находящаяся в
соотношении, с другой со значением, можно было бы сказать, некоторого plus в
ней самой - положена как функция прочих величин; их свойство быть функциями
друг друга сообщает им это определение plus, но именно этим - определение
совершенно неопределенного plus, a не приращения, инкремента и т. п. Мы,
однако, могли бы также оставить без внимания этот абстрактный исходный
пункт; можно совершенно просто ограничиться тем, что после того как
переменные величины даны в уравнении как функции друг друга, так что эта
определенность заключает в себе отношение степеней, теперь сравниваются
между собой также и функции возведения в степень каждой из них, - каковые
вторые функции определены не чем иным, как самим возведением -в степень.
Можно сначала выдавать за желание или возможность сведение степенного
уравнения переменных величин к отношению функций, получающихся в результате
их разложения в ряд; лишь дальнейшая цель, польза, применение должны указать
пригодность такого его преобразования; эта перестановка и вызвана
единственно лишь ее полезностью. Если выше мы исходили из изображения этих
степенных определений на примере такой величины, которая как сумма
принимается за различенную внутри себя, то это, с одной стороны, служило
лишь для того, чтобы указать, какого вида эти функции, с другой - в этом
заключается способ их нахождения.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281