Я коснусь еще самого существенного в попытках геометров устранить эти
затруднения.
Более ранние аналитики меньше терзали себя такими сомнениями; но старания
новейших аналитиков были направлены главным образом на то, чтобы вновь
привести исчисление бесконечно малых к очевидности собственно
геометрического метода и с помощью этого метода достигнуть в математике
строгости доказательств древних (выражения Лагранжа). Однако так как принцип
анализа бесконечного по своей природе выше, чем принцип математики конечных
величин, то анализ бесконечного сразу же сам собой должен был отказаться от
этого рода очевидности, подобно тому как философия также не может притязать
на ту отчетливость, которая присуща наукам о чувственном, ' например
естественной истории, или подобно тому как еда и питье считаются более
понятным занятием, чем мышление и постижение посредством понятия
(Begreifen). Поэтому нам придется говорить " лишь о стараниях достигнуть
строгости доказательств древних.
Некоторые [аналитики] пытались обойтись совершенно без понятия
бесконечного и дать без него то, что казалось связанным с его применением. -
Лагранж, например, рассказывает о методе, изобретенном Ланденом, и говорит
об этом методе, что он чисто аналитический и не пользуется бесконечно малыми
разностями, а сначала вводит различные значения переменных величин и в
дальнейшем приравнивает их друг к другу. Лагранж, впрочем, заявляет, что при
этом утрачиваются свойственные дифференциальному исчислению преимущества, а
именно простота метода и легкость действий. - Это способ, в котором
заключается нечто соответствующее тому, из которого исходит Декартов метод
касательных (о нем нам придется ниже еще говорить подробнее). Здесь можем
заметить, что в общем сразу ясно, что этот способ придавать переменным
величинам различные значения и затем приравнивать их друг к другу вообще
относится к иному кругу математического рассмотрения, чем сам метод
дифференциального исчисления, и им не выделяется подлежащая в дальнейшем
более тщательному рассмотрению особенность того простого отношения, к
которому сводится действительное, конкретное определение этого исчисления, а
именно отношения производной функции к первоначальной.
Более ранние из математиков новейшего времени, как, например, Ферма,
Барроу и другие, которые первые пользовались бесконечно малыми в том
применении, которое позднее преобразовалось в дифференциальное и
интегральное исчисление, а затем также Лейбниц и последующие математики,
равно как и Эйлер, всегда откровенно заявляли, что они вправе отбрасывать
произведения бесконечно малых разностей, так же как и их высшие степени,
только на том основании, что они относительно, по сравнению с низшими
разрядами, исчезают. Единственно на этом соображении покоится у них основное
положение, а именно определение того, что такое дифференциал произведения
или степени, ибо к этому сводится все теоретическое учение. Остальное есть
отчасти механизм действий, отчасти же применение, которое, однако, как мы
покажем далее, на самом деле представляет больший, или, лучше сказать,
единственный интерес. -
Что касается рассматриваемого теперь вопроса, то следует здесь привести
лишь самое простое соображение: исходя из того же довода относительно
незначительности принимают как основное положение о кривых, что элементы
кривых, а именно приращения абсциссы и ординаты имеют между собой то же
отношение, что и подкасательная и ордината. С целью получить подобные
треугольники дуга, составляющая наряду с двумя приращениями третью сторону
треугольника, который прежде справедливо назывался характеристическим
треугольником, рассматривается как прямая линия, как часть касательной, и
потому одно из приращений - как доходящее до касательной. Эти допущения
возвышают, с одной стороны, указанные ранее определения над природой
конечных величин; с другой же стороны, к моментам, называемым теперь
бесконечными, [здесь] употребляется такой способ, который приложим лишь к
конечным величинам и применяя который мы не вправе чем-либо пренебрегать,
ссылаясь на незначительность. Затруднение, отягчающее метод, остается при
таком способе действия во всей своей силе.
Здесь мы должны указать на удивительный прием Ньютона (Princ. inath.
phil. nat. Ub. II. Lemma II, после propos. VII) - на изобретенную им
остроумную уловку для устранения арифметически неправильного отбрасывания
произведений бесконечно малых разностей или их высших разрядов при
нахождении дифференциалов. Он находит дифференциал произведения, из которого
легко затем вывести дифференциалы частного, степени и т. п., следующим
образом. Произведение, если уменьшить х и у, каждый порознь на половину его
бесконечной разности, а если увеличить х и у , ровно настолько же, то
произведение переходит в сумму. Если от этого второго произведения отнять
первое,
то получается разность ydx + xdy, которая есть избыток приращения на
целые dx и dy, так как именно этим приращением отличаются оба произведения;
следовательно, это и есть дифференциал ху. - Как видим, при этом способе сам
собой отпадает член [ряда ], составляющий главное затруднение, -
произведение обеих бесконечных разностей dxdy. Однако при всем уважении к
имени Ньютона следует сказать, что это, хотя и весьма элементарное, действие
неправильно.
Только потребность обосновать ввиду его важности исчисление
флюксий могла заставить такого математика, как Ньютон, обмануть себя
подобным способом доказательства.
Другие формы, которыми пользуется Ньютон при выведении f дифференциала,
связаны с конкретными, относящимися к движению значениями элементов и их
степеней. - Применение формы ряда, вообще характерное для его метода, сразу
наводит на мысль, что всегда в наших силах путем прибавления все новых
членов взять величину с той степенью точности, которая нам нужна, и что
отброшенные величины относительно незначительны, что вообще результат есть
лишь приближение', и Ньютон здесь также удовлетворился этим доводом, подобно
тому как он в своем методе решения уравнений высших степеней путем
приближения отбрасывает высшие степени, получающиеся при подстановке в
данное уравнение каждого найденного еще неточного значения, на том простом
основании, что они малы;
Ошибка, которую допустил Ньютон, решая задачу путем отбрасывания
существенных высших степеней, ошибка, которая дала повод противникам
торжествовать победу своего метода над его методом и истинный источник
которой указывает Лагранж в своем новейшем исследовании ее, доказывает, что
пользование этим орудием еще страдало формализмом и неуверенностью. Лагранж
показывает, что Ньютон допустил эту ошибку потому, что он пренебрег членом
ряда, содержащим важную для данной задачи степень. Ньютон придерживался
указанного выше формального, поверхностного принципа отбрасывания членов
[ряда] ввиду их относительной малости.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281