Посредством формализма бесконечно малых сразу же
получается уравнение dz2 =dx2 + dy2. Лагранжево изложение, исходя из
названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть
первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член
которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной
функции ординаты.
Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером
стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на
это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения
этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись
характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего
отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого
конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает
определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых
методах Валериуса, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении
отношений геометрических предметов, основное определение - это положение о
том, что определенным количеством как определенным количеством таких
определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения,
пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за
неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и
не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто
отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно,
качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно,
в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою
очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как,
например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее
разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на
всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из
него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное
утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи,
и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его
настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и
его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи,
которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, - это величие
следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции
к так называемой производной функции и тех частей математического целого,
которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы
подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит
предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти
взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не
было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь
единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так
называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и
индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов
исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений
последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как
каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или
особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение,
возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов
и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным
исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим
названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или
возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности
дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в
соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в
нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для
того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий
выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате
разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда,
ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции,
которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес
этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к
ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую
сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими
коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное
выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего
общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого
исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством
которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для
такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого
другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле
не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности,
вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не
свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме
ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу
проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не
втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту
часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции
(функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то,
о чем идет речь.
Примечание 3
Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном
смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было
подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как
степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность
отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но
качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более
слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение
бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть
в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить,
что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны
прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые
величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного
различия между собой.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
получается уравнение dz2 =dx2 + dy2. Лагранжево изложение, исходя из
названной нами основы, доказывает, напротив, что величина дуги есть
первоначальная функция к некоей производной функции, характерный член
которой сам есть функция отношения производной функции к первоначальной
функции ординаты.
Так как в способе Архимеда, так же как позднее в исследовании Кеплером
стереометрических предметов, имеется представление о бесконечно малом, то на
это обстоятельство очень часто ссылались как на довод в пользу применения
этого представления в дифференциальном исчислении, причем не выделялись
характерные и отличительные черты. Бесконечно малое означает прежде всего
отрицание определенного количества, как такового, т. е. так называемого
конечного выражения, той завершенной определенности, которой обладает
определенное количество, как таковое. Точно так же в последующих знаменитых
методах Валериуса, Кавальери и других, основывающихся на рассмотрении
отношений геометрических предметов, основное определение - это положение о
том, что определенным количеством как определенным количеством таких
определений, которые рассматриваются прежде всего лишь как отношения,
пренебрегают для этой цели, и эти определения должны быть поэтому приняты за
неимеющие величины (Nicht-Grosses). Но этим, с одной стороны, не познано и
не выделено то утвердительное вообще, которое находится за чисто
отрицательным определением и которое выше оказалось, говоря абстрактно,
качественной определенностью величины, состоящей, говоря более определенно,
в степенном отношении; с другой стороны, поскольку само это отношение в свою
очередь включает в себя множество более точно определенных отношений, как,
например, отношение между степенью и функцией, получающейся в результате ее
разложения в ряд, они должны были бы быть в свою очередь основаны на
всеобщем и отрицательном определении того же бесконечно малого и выведены из
него. В только что приведенном изложении Лагранжа найдено то определенное
утвердительное, которое заключается в архимедовом способе изложения задачи,
и тем самым приему, обремененному неограниченным выхождением, дана его
настоящая граница. Величие новейшего изобретения, взятого само по себе, и
его способность разрешать трудные до того времени задачи, а те задачи,
которые и ранее были разрешимы, разрешать простым способом, - это величие
следует усматривать единственно в открытии отношения первоначальной функции
к так называемой производной функции и тех частей математического целого,
которые находятся в таком отношении.
Данное нами изложение взглядов можно считать достаточным для того, чтобы
подчеркнуть характерное свойство того отношения величин, которое служит
предметом рассматриваемого здесь особого вида исчисления. Излагая эти
взгляды, мы могли ограничиться простыми задачами и способом их решения; и не
было бы ни целесообразно для определения понятия (а дело идет здесь
единственно об этом определении), ни под силу автору обозреть всю сферу так
называемого применения дифференциального и интегрального исчисления и
индукцию, согласно которой указанный нами принцип лежит в основе этих видов
исчисления, ; завершить посредством сведения всех их задач и решений
последних к этому принципу. Но изложение достаточно показало, что, как
каждый особый вид исчисления имеет своим предметом особую определенность или
особое отношение величины и это отношение конституирует сложение, умножение,
возведение в степень и извлечение корня, счет посредством логарифмов, рядов
и т. д. - точно так же обстоит дело и с дифференциальным и интегральным
исчислением; для присущего этому исчислению отношения наиболее подходящим
названием было бы отношение степенной функции к функции ее разложения или
возведения в степень, так как это название всего ближе к пониманию сущности
дела. Но как в этом исчислении вообще применяются также действия в
соответствии с другими отношениями величин, например сложение и т. д., так в
нем применяются и отношения логарифмов, круга и рядов, в особенности для
того, чтобы сделать более удобными выражения ради требуемых действий
выведения первоначальных функций из функций, получающихся в результате
разложения в ряд. Дифференциальное и интегральное исчисление имеет, правда,
ближайший общий с формой ряда интерес - определить те разлагаемые функции,
которые в рядах называются коэффициентами членов; но в то время, как интерес
этого исчисления направлен лишь на отношение первоначальной функции к
ближайшему коэффициенту ее разложения, ряд стремится представить некоторую
сумму в виде множества членов, расположенного по степеням, снабженным этими
коэффициентами. Бесконечное, имеющееся в бесконечном ряде, неопределенное
выражение отрицательности определенного количества вообще, не имеет ничего
общего с утвердительным определением, находящимся в бесконечном этого
исчисления. Точно так же бесконечно малое как приращение, посредством
которого разложение принимает форму ряда, есть лишь внешнее средство для
такого разложения, и его так называемая бесконечность не имеет никакого
другого значения, кроме значения такого средства; так как ряд на самом деле
не есть тот ряд, который требуется, то он приводит к некоторой избыточности,
вновь устранить которую стоит лишнего труда. От этого лишнего труда не
свободен и метод Лагранжа, который вновь прибег главным образом к форме
ряда, хотя в том, что называют применением, благодаря этому методу
проявляется подлинное отличительное свойство [высшего анализа], так как, не
втискивая в предметы форм dx, dy и т. д., метод Лагранжа прямо указывает ту
часть [этих предметов], которой присуща определенность производной функции
(функции разложения), и этим обнаруживает, что форма ряда здесь вовсе не то,
о чем идет речь.
Примечание 3
Еще другие формы, связанные с качественной определенностью величины
Бесконечно малое дифференциального исчисления дано в своем утвердительном
смысле как качественная определенность величины, а относительно нее было
подробно показано, что в этом исчислении она наличествует не только как
степенная определенность вообще, но как особенная степенная определенность
отношения некоторой степенной функции к степенному члену разложения. Но
качественная определенность имеется еще и в другой, так сказать, более
слабой форме, и эту последнюю, равно как связанное с ней применение
бесконечно малых и их смысл в этом применении, следовало бы еще рассмотреть
в настоящем примечании.
Исходя из предшествующего, мы должны относительно этого сперва напомнить,
что различные степенные определения выступают здесь с аналитической стороны
прежде всего лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые
величины, которые, как таковые, не имеют указанного выше качественного
различия между собой.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281