Поскольку она дана как внешняя граница, допускают, что
непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы;
например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении
ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с одинаковой высотой и
основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не
вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур,
их отношение, прибавляет к внешней границе второй принцип определения.
Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковую
высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным
непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве
пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность
величины, как таковая, обнаруживающаяся в любой паре линий, проведенных в
обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в равном
отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в равном
отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности
фигуры; но рассмотрение линий полностью исчерпывает ту определенность, о
которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, будто
представление о неделимых приводит к тому, что должны быть сравнимы между
собой бесконечные по численности линии или поверхности (Geom., lib. II,
prop. I, schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает
между собой не их численность, которую мы не знаем, правильнее сказать, не
их численность, которая, как мы отметили выше, есть пустое вспомогательное
представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность, как
таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как
последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же
границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые;
если бы оно было нечто находящееся вне их, то оно было бы несравнимо; но
было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собой.
Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, чти принадлежит к
внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность
и что единственно и следует выделять для сравнения и в целях получения
теорем о нем. Категорий, которыми он пользуется при этом, говоря, что
непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., конечно,
недостаточно, так как при этом прибегают также к созерцанию непрерывного
или, как мы сказали выше, к его внешнему существованию; вместо того чтобы
сказать, что "НЕпрерывное есть не что иное, как сами неделимые", было бы
правильнее и, стало быть, само собой ясно сказать, что определенность
величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих
неделимых. - Кавальери не придает никакого значения сомнительному выводу,
что существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому
схоластикой из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он
определенно выражает далее (Geom., lib. VII, praef.) уверенность в том, что
его способ доказательства вовсе не заставляет иметь представление о
непрерывном как о сложенном из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции
неделимых. - Кавальери говорит, что он берет агрегаты неделимых не с той
стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности
из-за бесконечного множества линий или плоскостей, а поскольку они имеют в
самих себе некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но
чтобы устранить и этот камень преткновения, он в специально для этого
добавленной седьмой книге не жалеет труда доказать основные теоремы своей
геометрии таким способом, который остается свободным от примеси
бесконечности. - Этот способ сводит доказательства к упомянутой выше обычной
форме наложения фигур, т. е., как мы уже отметили, к представлению об
определенности как о внешней пространственной границе.
Относительно этой формы наложения можно прежде всего сделать еще и то
замечание, что она вообще есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному
созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два
рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей те или иные три
принимаются равными по величине соответствующим трем частям другого
треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собой, т.
е. что каждый из них имеет и остальные три части равными по величине частям
другого, так как они ввиду равенства трех первых частей совпадают друг с
другом. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что именно в силу
равенства каждой пары соответствующих друг другу частей обоих треугольников
имеется только один треугольник; в последнем три части принимаются за уже
определенные, из чего следует определенность также и трех остальных частей.
Таким образом, показывается, что в трех частях определенность завершена;
стало быть, для определенности, как таковой, три остальные части оказываются
излишеством - излишеством чувственного существования, т. е. созерцания
непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность
выступает здесь в [своем] отличии от того, что предлежит в созерцании, от
целого как некоторого непрерывного внутри себя; совпадение мешает осознать
это различие.
Вместе с параллельными линиями и в параллелограммах появляется, как мы
отметили, новое обстоятельство: отчасти равенство одних только углов,
отчасти же высота фигур, от которой отличны внешние границы последних,
стороны параллелограммов. При этом возникает сомнение, следует ли в этих
фигурах - кроме определенности одной стороны, основания, которое дано как
внешняя граница, - принимать в качестве другой определенности другую внешнюю
границу (а именно другую сторону параллелограмма) или высоту? Если даны две
такие фигуры, имеющие одинаковое основание и высоту, причем одна из них
прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть, с очень
тупыми противолежащими углами), то последняя фигура легко может показаться
созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую
большую сторону ее как определяющую и поскольку оно по способу представления
Кавальери сравнивает площади по тому или иному множеству параллельных линий,
которыми они могут быть пересечены; [согласно этому способу представления ],
большую сторону [остроугольного параллелограмма] можно было бы рассматривать
как возможность большего количества линий, чем у вертикальной стороны
прямоугольника. Однако такое представление не служит возражением против
метода Кавальери; ибо множество параллельных линий, представляемое в этих
двух параллелограммах для сравнения, предполагает в то же время одинаковость
их расстояний друг от друга или от основания, из чего следует, что другим
определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограмма.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
непрерывность фигуры, так сказать, следует равенству или отношению границы;
например, равенство совпадающих фигур основывается на совпадении
ограничивающих их линий. Но в параллелограммах с одинаковой высотой и
основанием лишь последняя определенность есть внешняя граница. Высота, а не
вообще параллельность, на которой основано второе главное определение фигур,
их отношение, прибавляет к внешней границе второй принцип определения.
Эвклидово доказательство равенства параллелограммов, имеющих одинаковую
высоту и основание, приводит их к треугольникам, к внешне ограниченным
непрерывным; в доказательстве же Кавальери, и прежде всего в доказательстве
пропорциональности параллелограммов, граница есть вообще определенность
величины, как таковая, обнаруживающаяся в любой паре линий, проведенных в
обеих фигурах на одинаковом расстоянии. Эти равные или находящиеся в равном
отношении к основанию линии, взятые совокупно, дают находящиеся в равном
отношении фигуры. Представление об агрегате линий противоречит непрерывности
фигуры; но рассмотрение линий полностью исчерпывает ту определенность, о
которой идет речь. Кавальери часто отвечает на то возражение, будто
представление о неделимых приводит к тому, что должны быть сравнимы между
собой бесконечные по численности линии или поверхности (Geom., lib. II,
prop. I, schol.); он проводит правильное различие, говоря, что он сравнивает
между собой не их численность, которую мы не знаем, правильнее сказать, не
их численность, которая, как мы отметили выше, есть пустое вспомогательное
представление, а лишь величину, т. е. количественную определенность, как
таковую, которая равна занимаемому этими линиями пространству; так как
последнее заключено в границах, то и эта его величина заключена в тех же
границах; непрерывное, говорит он, есть не что иное, как сами неделимые;
если бы оно было нечто находящееся вне их, то оно было бы несравнимо; но
было бы нелепо сказать, что ограниченные непрерывные несравнимы между собой.
Как видим, Кавальери хочет провести различие между тем, чти принадлежит к
внешнему существованию непрерывного, и тем, в чем состоит его определенность
и что единственно и следует выделять для сравнения и в целях получения
теорем о нем. Категорий, которыми он пользуется при этом, говоря, что
непрерывное сложено из неделимых или состоит из них и т. п., конечно,
недостаточно, так как при этом прибегают также к созерцанию непрерывного
или, как мы сказали выше, к его внешнему существованию; вместо того чтобы
сказать, что "НЕпрерывное есть не что иное, как сами неделимые", было бы
правильнее и, стало быть, само собой ясно сказать, что определенность
величины непрерывного есть не что иное, как определенность величины самих
неделимых. - Кавальери не придает никакого значения сомнительному выводу,
что существуют-де большие и меньшие бесконечные, выводу, делаемому
схоластикой из представления, что неделимые составляют непрерывное, и он
определенно выражает далее (Geom., lib. VII, praef.) уверенность в том, что
его способ доказательства вовсе не заставляет иметь представление о
непрерывном как о сложенном из неделимых; непрерывные лишь следуют пропорции
неделимых. - Кавальери говорит, что он берет агрегаты неделимых не с той
стороны, с какой они кажутся подпадающими под определение бесконечности
из-за бесконечного множества линий или плоскостей, а поскольку они имеют в
самих себе некоторый определенный характер и природу ограниченности. Но
чтобы устранить и этот камень преткновения, он в специально для этого
добавленной седьмой книге не жалеет труда доказать основные теоремы своей
геометрии таким способом, который остается свободным от примеси
бесконечности. - Этот способ сводит доказательства к упомянутой выше обычной
форме наложения фигур, т. е., как мы уже отметили, к представлению об
определенности как о внешней пространственной границе.
Относительно этой формы наложения можно прежде всего сделать еще и то
замечание, что она вообще есть, так сказать, ребяческая помощь чувственному
созерцанию. В элементарных теоремах о треугольниках представляют их два
рядом, и, поскольку в каждом из них из шести частей те или иные три
принимаются равными по величине соответствующим трем частям другого
треугольника, показывается, что такие треугольники совпадают между собой, т.
е. что каждый из них имеет и остальные три части равными по величине частям
другого, так как они ввиду равенства трех первых частей совпадают друг с
другом. Формулируя это более абстрактно, можно сказать, что именно в силу
равенства каждой пары соответствующих друг другу частей обоих треугольников
имеется только один треугольник; в последнем три части принимаются за уже
определенные, из чего следует определенность также и трех остальных частей.
Таким образом, показывается, что в трех частях определенность завершена;
стало быть, для определенности, как таковой, три остальные части оказываются
излишеством - излишеством чувственного существования, т. е. созерцания
непрерывности. Высказанная в такой форме качественная определенность
выступает здесь в [своем] отличии от того, что предлежит в созерцании, от
целого как некоторого непрерывного внутри себя; совпадение мешает осознать
это различие.
Вместе с параллельными линиями и в параллелограммах появляется, как мы
отметили, новое обстоятельство: отчасти равенство одних только углов,
отчасти же высота фигур, от которой отличны внешние границы последних,
стороны параллелограммов. При этом возникает сомнение, следует ли в этих
фигурах - кроме определенности одной стороны, основания, которое дано как
внешняя граница, - принимать в качестве другой определенности другую внешнюю
границу (а именно другую сторону параллелограмма) или высоту? Если даны две
такие фигуры, имеющие одинаковое основание и высоту, причем одна из них
прямоугольная, а другая с очень острыми углами (и, стало быть, с очень
тупыми противолежащими углами), то последняя фигура легко может показаться
созерцанию большей, чем первая, поскольку созерцание берет предлежащую
большую сторону ее как определяющую и поскольку оно по способу представления
Кавальери сравнивает площади по тому или иному множеству параллельных линий,
которыми они могут быть пересечены; [согласно этому способу представления ],
большую сторону [остроугольного параллелограмма] можно было бы рассматривать
как возможность большего количества линий, чем у вертикальной стороны
прямоугольника. Однако такое представление не служит возражением против
метода Кавальери; ибо множество параллельных линий, представляемое в этих
двух параллелограммах для сравнения, предполагает в то же время одинаковость
их расстояний друг от друга или от основания, из чего следует, что другим
определяющим моментом служит высота, а не другая сторона параллелограмма.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281