Это, скажем мимоходом, основное положение
аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, чтб то же
самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не
нуждающемуся в больших усилиях доказать его. - Подкасательная теперь
принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют
ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет
своим уравнением р - aq (прибавление + Ь бесполезно для определения и
делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q есть
а, коэффициент величины q, который есть соответственная первая функция
уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q , т.
е., как сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как
касательная к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция
уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии; далее, так
как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой,
отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия,
принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная
точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том,
чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть
касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и р
= fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и f`x=F'Q. Что
употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена
из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть,
следовательно, касательная, - это показывается с помощью приращения i
абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь,
стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким
оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому
приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для
нахождения дифференциального уравнения и для характеристического
треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим;
он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной,
как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну
общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту
-точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или
не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та
линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения
приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость
не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от
определенного количества, как такового; она качественно положена природой
формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина,
есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i,
которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует
представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само
представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже
неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего
общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.
Я хочу здесь еще сказать о Декартовом методе касательных, хотя бы только
ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его
славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы
должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот
самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находят
из той же производной функции, в своей оказавшейся и в других отношениях
столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, torn V, liv. II, p.
357 и ел.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их
геометрического построения, а тем самым об основе анализа, в столь
значительной степени применяемого к геометрии вообще. Проблема получает у
него форму задачи - провести прямые линии перпендикулярно к любому месту
кривой, чем определяется подкасательная и т. д. Вполне понятно чувство
удовлетворения, выражаемого им по поводу своего открытия, которое касалось
предмета всеобщего научного интереса того времени и, будучи всецело
геометрическим, столь возвышалось над упомянутыми выше методами его
соперников, содержащими одни только правила: "J'ose dire que c'est ceci le
probleme le plus utile et le plus general, non seulement que je sache, mais
шете que j'aie jamais desire de savoir en geometric"117. - При решении этой
задачи он исходит из аналитического уравнения прямоугольного треугольника,
образуемого ординатой той точки кривой, к которой должна быть
перпендикулярна искомая прямая линия, затем ею же самой, нормалью, и,
в-третьих, поднормалью, т. е. той частью оси, которая отрезается ординатой и
нормалью. Из известного уравнения кривой в указанное уравнение треугольника
подставляется затем значение ординаты или абсциссы; таким образом получается
уравнение второй степени (и Декарт показывает, каким образом и те кривые,
уравнения которых содержат более высокие степени, сводятся к уравнению
второй степени), в котором встречается лишь одна из переменных величин и
притом в квадрате и в первой степени, - квадратное уравнение, которое
сначала предстает как так называемое нечистое уравнение. Затем Декарт
рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку
кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в
другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и
неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы
или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается
одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза
перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе
таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и,
следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и
неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении
с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в
первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение,
посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует
признать гениальным приемом истинно аналитического ума - приемом, с которым
не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность
подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям
абсциссы и ординаты.
Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго
члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то
же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого
дифференциальным исчислением. Уравнение x1 - ax - b=0 после его
дифференцирования дает новое уравнение 2х - а=0, а дифференцирование х3 - рх
- 9=0 дает Зх2 - р = 0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, чтб то же
самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не
нуждающемуся в больших усилиях доказать его. - Подкасательная теперь
принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют
ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет
своим уравнением р - aq (прибавление + Ь бесполезно для определения и
делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q есть
а, коэффициент величины q, который есть соответственная первая функция
уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q , т.
е., как сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как
касательная к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция
уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии; далее, так
как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой,
отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия,
принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная
точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том,
чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть
касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и р
= fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и f`x=F'Q. Что
употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена
из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть,
следовательно, касательная, - это показывается с помощью приращения i
абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь,
стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким
оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому
приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для
нахождения дифференциального уравнения и для характеристического
треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим;
он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной,
как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну
общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту
-точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или
не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та
линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения
приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость
не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от
определенного количества, как такового; она качественно положена природой
формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина,
есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i,
которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует
представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само
представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже
неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего
общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.
Я хочу здесь еще сказать о Декартовом методе касательных, хотя бы только
ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его
славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы
должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот
самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находят
из той же производной функции, в своей оказавшейся и в других отношениях
столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, torn V, liv. II, p.
357 и ел.), развивая в ней учение о широкой основе природы уравнений и их
геометрического построения, а тем самым об основе анализа, в столь
значительной степени применяемого к геометрии вообще. Проблема получает у
него форму задачи - провести прямые линии перпендикулярно к любому месту
кривой, чем определяется подкасательная и т. д. Вполне понятно чувство
удовлетворения, выражаемого им по поводу своего открытия, которое касалось
предмета всеобщего научного интереса того времени и, будучи всецело
геометрическим, столь возвышалось над упомянутыми выше методами его
соперников, содержащими одни только правила: "J'ose dire que c'est ceci le
probleme le plus utile et le plus general, non seulement que je sache, mais
шете que j'aie jamais desire de savoir en geometric"117. - При решении этой
задачи он исходит из аналитического уравнения прямоугольного треугольника,
образуемого ординатой той точки кривой, к которой должна быть
перпендикулярна искомая прямая линия, затем ею же самой, нормалью, и,
в-третьих, поднормалью, т. е. той частью оси, которая отрезается ординатой и
нормалью. Из известного уравнения кривой в указанное уравнение треугольника
подставляется затем значение ординаты или абсциссы; таким образом получается
уравнение второй степени (и Декарт показывает, каким образом и те кривые,
уравнения которых содержат более высокие степени, сводятся к уравнению
второй степени), в котором встречается лишь одна из переменных величин и
притом в квадрате и в первой степени, - квадратное уравнение, которое
сначала предстает как так называемое нечистое уравнение. Затем Декарт
рассуждает таким образом, что если мы представим себе рассматриваемую точку
кривой точкой пересечения ее и круга, то этот круг пересечет кривую еще в
другой точке и тогда получится для двух возникающих благодаря этому и
неодинаковых х два уравнения с одинаковыми константами и одинаковой формы
или же одно уравнение с неодинаковыми значениями х. Но уравнение делается
одним уравнением лишь для одного треугольника, в котором гипотенуза
перпендикулярна к кривой, т. е. оказывается нормалью, что представляют себе
таким образом, будто обе точки пересечения кривой совпадают с кругом и,
следовательно, круг соприкасается с кривой. Но тем самым устраняется также и
неравенство корней х или у квадратного уравнения. В квадратном же уравнении
с двумя одинаковыми корнями коэффициент члена, содержащего неизвестные в
первой степени, вдвое больше одного лишь корня; это дает нам уравнение,
посредством которого мы находим искомые определения. Этот способ следует
признать гениальным приемом истинно аналитического ума - приемом, с которым
не может сравниться принимаемая всецело ассерторически пропорциональность
подкасательной и ординаты якобы бесконечно малым так называемым приращениям
абсциссы и ординаты.
Полученное этим путем конечное уравнение, в котором коэффициент второго
члена квадратного уравнения равен удвоенному корню или неизвестному, есть то
же уравнение, которое находят посредством приема, применяемого
дифференциальным исчислением. Уравнение x1 - ax - b=0 после его
дифференцирования дает новое уравнение 2х - а=0, а дифференцирование х3 - рх
- 9=0 дает Зх2 - р = 0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281