Обычный метод, пользующийся представлением бесконечно малой разности,
облегчает себе задачу. Для квадратуры кривых линий он принимает бесконечно
малый прямоугольник, произведение ординаты на элемент (т. е. на бесконечно
малую часть) ^абсциссы, за трапецию, имеющую одной своей стороной бесконечно
малую дугу, противоположную указанной бесконечно малой части абсциссы.
Произведение это интегрируется в том смысле, что интеграл дает сумму
бесконечно многих трапеций, ту плоскость, которую требуется определить, а
именно конечную величину указанного элемента плоскости. И точно так же
обычный метод образует из бесконечно малой части дуги и соответствующих ей
ординаты и абсциссы прямоугольный треугольник, в котором квадрат этой дуги
считается равным сумме квадратов обоих других бесконечно малых,
интегрирование которых и дает конечную дугу.
Этот прием опирается на то общее открытие, которое служит основой этой
области анализа и которое принимает здесь форму положения, что приведенная к
квадрату кривая, выпрямленная дуга и т. д. находится к известной (данной
уравнением кривой) функции в отношении так называемой первоначальной функции
к производной. Здесь дело идет о том, чтобы в случае, если какая-то часть
математического предмета (например, некоторой кривой) принимается за
производную функцию, узнать, какая другая его часть выражена соответствующей
первоначальной функцией. Мы знаем, что если данная уравнением кривой функция
ординаты, принимается за производную функцию, то соответствующая ей
первоначальная функция есть выражение величины образуемой кривой
поверхности, отрезанной этой ординатой, что если то или иное определение
касательной рассматривается как производная функция, то ее первоначальная
функция выражает величину соответствующей этому определению дуги и т. д.
Однако заботу о том, чтобы узнать и доказать, что эти отношения, отношение
первоначальной функции к производной и отношение величин двух частей или
двух сторон (Umstande) математического предмета, образуют пропорцию, -
заботу об этом снимает с себя метод, пользующийся бесконечно малым и
механически оперирующий им. Характерная для остроумия заслуга - на основании
результатов, уже заранее известных из других источников, открывать, что
некоторые и именно такие-то стороны математического предмета находятся в
отношении первоначальной и производной функции.
Из этих двух функций производная, или, как она была определена выше,
функция возведения в степень, есть здесь, в интегральном исчислении, данная
по отношению к первоначальной функции, которая еще должна быть найдена из
нее путем интегрирования. Однако первая дана не непосредственно, равно как
не дано само по себе, какую часть или какое определение математического
предмета должно рассматривать как производную функцию, дабы, приводя ее к
первоначальной функции, найти другую часть или другое определение
[предмета], установить величину которого требует задача. Обычный метод,
сразу же представляющий, как мы сказали, некоторые части предмета как
бесконечно малые в форме производных функций, определимых из первоначально
данного уравнения предмета вообще посредством дифференцирования (как,
[например], для выпрямления кривой - бесконечно малые абсциссы и ординаты),
принимает за таковые те части или определения, которые можно привести в
такую связь с предметом задачи (в нашем примере с дугой), также
представляемым как бесконечно малый, которая установлена элементарной
математикой, благодаря чему, если /известны упомянутые части, определяется и
та часть, величину которой требуется найти; так, для выпрямления кривой
приводятся в связь в виде уравнения прямоугольного треугольника указанные
выше три бесконечно малых, для [ее] квадратуры приводятся в связь некоторого
произведения ордината и бесконечно малая абсцисса, причем поверхность вообще
принимается арифметически за произведение линий. Переход от этих так
называемых элементов поверхности, дуги и т. д. к величине самих
поверхностей, дуги и т. д. считается в этом случае лишь восхождением от
бесконечного выражения к конечному или к сумме бесконечно многих элементов,
из которых, согласно предположению, состоит искомая величина.
Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление -
это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального
исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального
исчисления направлен исключительно на взаимное отношение первоначальной и
производной функции в конкретных предметах.
Лагранж и в этой части исчисления не соглашался отделаться от трудности
проблем легким способом, основанным на указанных выше прямых допущениях. Для
разъяснения сущности дела будет полезно привести здесь также и некоторые
подробности его метода на немногих примерах. Этот метод ставит себе задачей
как раз особо доказать, что между отдельными определениями некоторого
математического целого, например некоторой кривой, имеется отношение
первоначальной функции к производной. Но в силу природы самого отношения,
приводящего в связь в некотором математическом предмете кривые с прямыми
линиями, линейные измерения и функции с поверхностно-плоскостными
измерениями и их функцией и т. д., приводящего, следовательно, в связь
качественно разное, это нельзя выполнить прямым путем, и определение, таким
образом, можно понимать лишь как середину между чем-то большим и чем-то
меньшим. Благодаря этому, правда, само собой вновь появляется форма
приращения с плюсом и минусом, и бодрое "developpons" ["развернем в ряд"]
снова очутилось на своем месте; но мы уже говорили о том, что приращения
имеют здесь лишь арифметическое значение, значение чего-то конечного. Из
анализа (Entwicklung) того условия, что определимая величина больше легко
определяемого предела и меньше другого предела, выводится, например, что
функция ординаты есть первая производная функция к функции плоскости.
Выпрямление кривых по способу Лагранжа, который исходит при этом из
архимедовского принципа, заслуживает внимания тем, что оно проливает свет на
перевод архимедовского метода в принцип новейшего анализа, а это позволяет
бросить взгляд на суть и истинный смысл действия, механически производимого
другим путем. Способ действия по необходимости аналогичен только что
указанному способу. Архимедовский принцип, согласно которому дуга кривой
больше соответствующей ей хорды и меньше суммы двух касательных, проведенных
в конечных точках дуги, поскольку эти касательные заключены между этими
точками и точкой их пересечения, не дает прямого уравнения. Переводом этого
архимедовского основного определения в новейшую аналитическую форму служит
изобретение такого выражения, которое, взятое само по себе, есть простое
основное уравнение, между тем как указанная форма лишь выставляет требование
продвигаться в бесконечность между слишком большим и слишком малым, которые
каждый раз обретают определенность, и это продвижение опять-таки приводит
лишь к новому слишком большому и к новому слишком малому, однако во все
более узких границах.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281