Но термин предел уже сам по себе подразумевает, что это предел
чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции
переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное
оперирование им.
Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на
которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины,
соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция
другой;
приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно
малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит
прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других
методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx
должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2
и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и
второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух
приращений. Отсюда видно, что А как определенное
О, но что вследствие этого в то же время h
количество полагается еще не равно, а остается некоторым отношением. И
вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит
заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не
действительным отношением, которое было бы = ",
а лишь тем определенным значением, к которому отношение может
приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше
всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно
того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.
- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и
как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное
различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может
быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же
dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это
и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения,
что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается
k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само
собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при
условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же
такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение. На
этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно
коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, -
некоторым определенным образом выведенная первая производная функция
первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом
деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки
дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая
называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их
бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что
кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все
остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих
приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от
всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего
бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь
столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые
считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.
Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.
е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей
имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного,
что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная
функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде
всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в
изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание
собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде
всего шла речь.
Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой
исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после
этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь
поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь
утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от
превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит
вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные
количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем
существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как
[здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну
ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую
ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела
ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь
этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты
необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как
отличие или качественное определение величины относительно элемента
абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в
отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных
величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в
простую интенсивность, в определенность одного качественного момента
отношения сравнительно с другим.
Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только
что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или
приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным
количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел,
следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем
последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно
приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от
него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом,
бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das
Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и
[ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу
определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний
план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно
dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx
находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров
важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и
держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с
которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281
чего-то, т. е. выражает некоторое значение, заключающееся в функции
переменной величины; и мы должны посмотреть, каково это конкретное
оперирование им.
Он должен быть пределом отношения друг к другу двух приращений, на
которые, по сделанному допущению, увеличиваются две переменные величины,
соединенные в одном уравнении, из которых одна рассматривается как функция
другой;
приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку бесконечно
малым еще не пользуются. Но путь, которым отыскивается этот предел, приводит
прежде всего к тем же непоследовательностям, которые имеются в других
методах. Этот путь именно таков. Если у - fx, то при переходе у в у + k fx
должно переходить в fx + ph + ah2 + rh3 и т. д. Следовательно, k = ph + gh2
и т. д. и р + qh + rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезают, то исчезает и
второй член ряда кроме р, которое и есть предел отношения этих двух
приращений. Отсюда видно, что А как определенное
О, но что вследствие этого в то же время h
количество полагается еще не равно, а остается некоторым отношением. И
вот представление о пределе должно принести ту пользу, что оно устранит
заключающуюся здесь непоследовательность; р должно в то же время быть не
действительным отношением, которое было бы = ",
а лишь тем определенным значением, к которому отношение может
приближаться бесконечно, [т. е. ] так, чтобы разность могла стать меньше
всякой данной разности. Более определенный смысл приближения относительно
того, что, собственно, должно сближаться между собой, будет рассмотрен ниже.
- Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и
как долженствующее быть меньше всякой данной величины, уже не количественное
различие, это само собой ясно; это так же очевидно, как что-то вообще может
быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше dy/dx=0/0. Если же
dy/dx=p, т.е. принимается за определенное количественное отношение, как это
и есть на самом деле, то, наоборот, возникает трудность для предположения,
что h=0, предположения - единственно в основании k которого и получается
k/n=p. Если же согласиться, что k/n=0 и в самом деле, раз h = 0, то само
собой k также становится - 0, ибо приращение k к у имеет место лишь при
условии, что приращение составляет h, - то надо было бы спросить, что же
такое р, которое есть совершенно определенное количественное значение. На
этот вопрос сразу же само собой получается простой, ясный ответ, что оно
коэффициент, и нам указывают, на основании какого выведения он возникает, -
некоторым определенным образом выведенная первая производная функция
первоначальной функции. Если довольствоваться этим ответом, как и в самом
деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая часть науки
дифференциального исчисления и непосредственно сама форма его, которая
называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их
бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что
кроме первого члена или, вернее, лишь коэффициента первого члена, все
остальные члены ряда, которые неизбежно появляются благодаря введению этих
приращений, вновь устраняются; но помимо этого она очистилась бы также и от
всего того, что дальше связано с этим, от формальных категорий прежде всего
бесконечного, от бесконечного приближения, а затем и от дальнейших, здесь
столь же пустых категорий непрерывной величины и всех еще других, которые
считают нужным ввести, таких как стремление, становление, повод к изменению.
Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т.
е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей
имеет р помимо того ясного определения, для теории совершенно достаточного,
что оно не что иное, как полученная путем разложения бинома производная
функция; об этом будет сказано во втором примечании. -Здесь же мы прежде
всего разберем ту путаницу, которую приведенное выше столь обычное в
изложениях пользование представлением о приближении внесло в понимание
собственной, качественной определенности того отношения, о котором прежде
всего шла речь.
Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собой
исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после
этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь
поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь
утрачивается столь мало, что оно скорее есть именно то, что получается от
превращения конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит
вся суть дела. - Так, например, в последнем отношении исчезают определенные
количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются в своем
существе: один - элементом ординаты, а другой - элементом абсциссы. Так как
[здесь] применяют способ представления, бесконечно приближающий одну
ординату к другой, то ранее различенная ордината переходит в другую
ординату, а ранее различенная абсцисса - в другую абсциссу; но по сути дела
ни ордината не переходит в абсциссу, ни абсцисса - в ординату. Ограничиваясь
этим примером переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты
необходимо брать не как отличие одной ординаты от другой, а скорее как
отличие или качественное определение величины относительно элемента
абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся в
отношении друг к другу. Различие, не будучи больше различием конечных
величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно свелось в
простую интенсивность, в определенность одного качественного момента
отношения сравнительно с другим.
Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только
что назвали элементом, например ординаты, понимается затем как разность или
приращение [в том смысле], что оно будто бы лишь различие между определенным
количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел,
следовательно, не имеет здесь смысла отношения; он считается лишь тем
последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно
приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от
него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом,
бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью отличия (das
Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого, и
[ее ] качественная природа, сообразно которой dx есть по своему существу
определение отношения не к л, а к dy, отступает в представлении на задний
план. [В дифференциальном исчислении] заставляют dx2 исчезнуть относительно
dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx
находится в отношении лишь к dy. При таком способе изложения для геометров
важно прежде всего сделать понятным приближение величины к ее пределу и
держаться той стороны отличия одного определенного количества от другого, с
которой оно не отличие и тем не менее все еще отличие.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281